Συνεχής και περιοδική

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Συνεχής και περιοδική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 27, 2020 10:29 am

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle{\left| f(x) \right| \leq \frac{1}{1+x^2}}
Ορίζουμε τη συνάρτηση F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} με τύπο \displaystyle{F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f \left ( x + n \right )}.


Να δειχθεί ότι:
  1. η F είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο 1.
  2. αν η G είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο 1 τότε

    \displaystyle{\int_{0}^{1} F(x)G(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) G(x) \, \mathrm{d}x }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής και περιοδική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 14, 2021 4:09 pm

Επαναφορά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Συνεχής και περιοδική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 21, 2021 12:45 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 27, 2020 10:29 am
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle{\left| f(x) \right| \leq \frac{1}{1+x^2}}
Ορίζουμε τη συνάρτηση F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} με τύπο \displaystyle{F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f \left ( x + n \right )}.


Να δειχθεί ότι:
  1. η F είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο 1.
  2. αν η G είναι συνεχής και περιοδική με περίοδο 1 τότε

    \displaystyle{\int_{0}^{1} F(x)G(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) G(x) \, \mathrm{d}x }

  1. Παρατηρούμε ότι:

    \displaystyle{g\left ( x + 1 \right ) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f \left ( n +x +1 \right ) = \sum_{n'=-\infty}^{\infty} f \left ( x + n \right ) = g(x)}
  2. Καταρχήν , η G είναι φραγμένη στο [0, 1] και \sum \limits_{n=-N}^{N} f (x + n ) \rightarrow F(x) ομοιόμορφα. Τότε,

    \displaystyle{\begin{aligned}  
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) G(x)\, \mathrm{d}x &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{n}^{n+1} f(x) G(x) \, \mathrm{d}x \\  
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{1} f(x + n) G(x)\, \mathrm{d}x \\  
&= \int_{0}^{1} F(x) G(x) \, \mathrm{d}x  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης