Φράγμα και υπολογισμός ολοκληρώματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Φράγμα και υπολογισμός ολοκληρώματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Απρ 28, 2010 5:06 pm

\bullet Ας δειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{e-1}{n+1}\leqq\int^e_1(\log x)^n dx\leqq\frac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+2)}\  (n\in\mathbb{N})  }

\bullet Ας υπολογισθεί το \displaystyle{\int^e_1(\log x)^n dx}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Φράγμα και υπολογισμός ολοκληρώματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Απρ 28, 2010 7:05 pm

Κάπου το πρώτο μου τα χαλάει αλλά ας δώσω μια σκέψη.
\displaystyle{\bf I_{n+1}=\int_{1}^{e}(\log(x))^{n+1}\;dx=x\cdot \log(x)\bigg|_{1}^{e}-(n+1)\int_{1}^{e}(\log(x))^{n}\;dx=e-(n+1)I_{n}}. Επαγωγικά για \displaystyle{\bf n=1 } ισχύει. Υποθέτουμε ότι η δοθείσα ισχύει και άρα
\displaystyle{\bf \frac{e-1}{n+1}\leq I_{n}\leq \frac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+1)}\Rightarrow \frac{e-1}{n+1}\leq \frac{I_{n+1}-e}{-(n+1)}\leq \frac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+1)}\Rightarrow \frac{e-1}{n+2}\leq I_{n+1}\leq 1} για να δείξουμε το επαγωγικό βήμα. Αλλά το ότι \displaystyle{\bf I_{n+1}\leq 1} με προβλήματίζει λίγο.


Άσχετο με το θέμα.
\displaystyle{\color{red}\rule{115pt}{3pt}}
Αναστάση η φωτό σου μήπως είναι η συνάρτηση \displaystyle{\bf\psi^{(3)}(z)=\int_{0}^{+\infty}\frac{t^3 e^{-zt}}{1-e^{-t}}\;dt};


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Φράγμα και υπολογισμός ολοκληρώματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Απρ 28, 2010 8:52 pm

Ωmega Man έγραψε:Άσχετο με το θέμα.
\displaystyle{\color{red}\rule{115pt}{3pt}}
Αναστάση η φωτό σου μήπως είναι η συνάρτηση \displaystyle{\bf\psi^{(3)}(z)=\int_{0}^{+\infty}\frac{t^3 e^{-zt}}{1-e^{-t}}\;dt};
Γιάπ!


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Φράγμα και υπολογισμός ολοκληρώματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Απρ 29, 2010 4:10 pm

Λοιπον, εστω \displaystyle I_n = \int_1^e (\ln x)^n dx.

Παρατηρουμε οτι η (I_n) ειναι φθινουσα (οι λογαριθμοι ειναι θετικοι και μικροτεροι της μοναδας) και I_0 = e-1, I_1 = 1. Αρα, για καθε n \geq 1 εχουμε I_n \leq 1.

Τωρα, η εξ αριστερων ανισοτητα ειναι η I_{n+1} \leq 1 ενω η εκ δεξιων ειναι η I_{n+2} \leq 1, οποτε ειμαστε ενταξει.

Για το δευτερο ερωτημα δε βρηκα κλειστο τυπο, μονο τον \displaystyle I_n = n! \left( e \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n+k}}{k!} - (-1)^n \right)

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Φράγμα και υπολογισμός ολοκληρώματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Απρ 29, 2010 4:23 pm

dement έγραψε:Λοιπον, εστω \displaystyle I_n = \int_1^e (\ln x)^n dx.

Παρατηρουμε οτι η (I_n) ειναι φθινουσα (οι λογαριθμοι ειναι θετικοι και μικροτεροι της μοναδας) και I_0 = e-1, I_1 = 1. Αρα, για καθε n \geq 1 εχουμε I_n \leq 1.

Τωρα, η εξ αριστερων ανισοτητα ειναι η I_{n+1} \leq 1 ενω η εκ δεξιων ειναι η I_{n+2} \leq 1, οποτε ειμαστε ενταξει.

Για το δευτερο ερωτημα δε βρηκα κλειστο τυπο, μονο τον \displaystyle I_n = n! \left( e \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n+k}}{k!} - (-1)^n \right)

Δημητρης Σκουτερης
Δημήτρη και εγώ στο ίδιο κατέληξα, \displaystyle{e\Bigg(\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n}k!\binom{n}{k}\Bigg)+(-1)^{n+1}n!}, γιατί έκανα τη φιλόδοξη απόπειρα να δείξω την ανισότητα με απευθείας υπολογισμό του ολοκληρώματος...

Αναρωτιέμαι αν μπορεί να υπολογιστεί το τελευταίο με κλειστό τύπο..

Η άσκηση είναι από mathlinks


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Φράγμα και υπολογισμός ολοκληρώματος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Απρ 29, 2010 7:11 pm

Ωραία, οπότε από το ποστ του Δημήτρη εδώ και από το Wikipedia έχουμε

\displaystyle{\int_{1}^{e}(\ln x)^{n}\,dx=(-1)^{n}\big(e d_{n}-n!\big)},

όπου \displaystyle{d_{n}=\Big\lfloor\frac{n!}{e}+\frac{1}{2}\Big\rfloor} για n\geq1 είναι ο derangement number και

\displaystyle{\lfloor\cdot\rfloor} είναι η "συνάρτηση κοντινότερου ακεραίου"


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης