Είναι μηδενική;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4565
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Είναι μηδενική;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Δεκ 17, 2020 11:49 pm

Έστω f:[-1, 1] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής και άρτια συνάρτηση. Αν για κάθε n \in \mathbb{N} ισχύει ότι

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} f \left ( \frac{2 k-1}{n} - 1 \right ) \cdot \frac{2}{n} = 0}
μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η f είναι η μηδενική;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13297
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι μηδενική;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 18, 2020 12:29 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Δεκ 17, 2020 11:49 pm
Έστω f:[-1, 1] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής και άρτια συνάρτηση. Αν για κάθε n \in \mathbb{N} ισχύει ότι

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} f \left ( \frac{2 k-1}{n} - 1 \right ) \cdot \frac{2}{n} = 0}
μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η f είναι η μηδενική;

H εκφώνηση είναι προβλημτική αφού το \frac{2}{n} είναι παρείσακτο μια και βγαίνει έξω από το άθροισμα και άρα περιττεύει.

Επί της ουσίας: Η απάντηση είναι "όχι". Για παράδειγμα παίρνουμε στο [0,1] οποιαδήποτε συνάρτηση με f(0)=0 και η οποία είναι συμμετρική ως προς το σημείο 1/2 του άξονα των x, δηλαδή με f(1-x)=-f(x). Η \sin (2\pi x) είναι τέτοια αλλά και το γαλάζιο τμήμα της παρακάτω εικόνας. Επεκτείνουμε την συνάρτηση στο [-1,0] (πράσινη γραμμή) ώστε να γίνει άρτια.

Για τους όρους του αθροίσματος με θετικό όρισμα, παρατηρούμε ότι απλοποιούνται ανά ζεύγη (π.χ. τα δύο κόκκινα συμμετρικά ορίσματα, της μορφής \dfrac {2k-1}{n}-1 και \dfrac {2(n-k+1)-1}{n}-1, αντίστοιχα). Όμοια για τα αρνητικά ορίσματα. Άρα όλο το άθροισμα ισούται με 0.
Συνημμένα
simmetriko graf.png
simmetriko graf.png (6.26 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4565
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Είναι μηδενική;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Δεκ 18, 2020 2:07 pm

Ωραία. Το ίδιο ισχύει και για τη συνάρτηση

\displaystyle{f(x) = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{\cos 2^j \pi x}{2^j}- \cos \pi x}
Δηλαδή , είναι συνεχής , είναι άρτια , είναι μη μηδενική αλλά τα Riemann mid-points της είναι 0.

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Δεκ 18, 2020 12:29 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Δεκ 17, 2020 11:49 pm
Έστω f:[-1, 1] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής και άρτια συνάρτηση. Αν για κάθε n \in \mathbb{N} ισχύει ότι

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} f \left ( \frac{2 k-1}{n} - 1 \right ) \cdot \frac{2}{n} = 0}
μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η f είναι η μηδενική;

H εκφώνηση είναι προβλημτική αφού το \frac{2}{n} είναι παρείσακτο μια και βγαίνει έξω από το άθροισμα και άρα περιττεύει.

Η εκφώνηση έλεγε τα Riemann mid-points είναι 0 που ουσιαστικά είναι το άθροισμα που έγραψα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3347
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Είναι μηδενική;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 18, 2020 3:48 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Δεκ 18, 2020 12:29 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Δεκ 17, 2020 11:49 pm
Έστω f:[-1, 1] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής και άρτια συνάρτηση. Αν για κάθε n \in \mathbb{N} ισχύει ότι

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} f \left ( \frac{2 k-1}{n} - 1 \right ) \cdot \frac{2}{n} = 0}
μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η f είναι η μηδενική;

H εκφώνηση είναι προβλημτική αφού το \frac{2}{n} είναι παρείσακτο μια και βγαίνει έξω από το άθροισμα και άρα περιττεύει.

Επί της ουσίας: Η απάντηση είναι "όχι". Για παράδειγμα παίρνουμε στο [0,1] οποιαδήποτε συνάρτηση με f(0)=0 και η οποία είναι συμμετρική ως προς το σημείο 1/2 του άξονα των x, δηλαδή με f(1-x)=-f(x). Η \sin (2\pi x) είναι τέτοια αλλά και το γαλάζιο τμήμα της παρακάτω εικόνας. Επεκτείνουμε την συνάρτηση στο [-1,0] (πράσινη γραμμή) ώστε να γίνει άρτια.

Για τους όρους του αθροίσματος με θετικό όρισμα, παρατηρούμε ότι απλοποιούνται ανά ζεύγη (π.χ. τα δύο κόκκινα συμμετρικά ορίσματα, της μορφής \dfrac {2k-1}{n}-1 και \dfrac {2(n-k+1)-1}{n}-1, αντίστοιχα). Όμοια για τα αρνητικά ορίσματα. Άρα όλο το άθροισμα ισούται με 0.
Καλησπέρα Μιχάλη.
Κάτι δεν πάει καλά εκτός αν έχεις τυπογραφικά.
Για n=5 τα σημεία είναι
-\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0,\frac{2}{5},\frac{4}{5}
δεν έχουν συμμετρία ως προς το 1/2.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13297
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι μηδενική;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 18, 2020 9:09 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Δεκ 18, 2020 3:48 pm
Καλησπέρα Μιχάλη.
Κάτι δεν πάει καλά εκτός αν έχεις τυπογραφικά.
Για n=5 τα σημεία είναι
-\frac{4}{5},-\frac{2}{5},0,\frac{2}{5},\frac{4}{5}
δεν έχουν συμμετρία ως προς το 1/2.
Σταύρο, έχεις δίκιο. Η συμμετρία είναι μόνο για άρτια n. :oops: Συνεπώς πίσω στον επανασχεδιασμό της συνάρτησης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες