α) Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση , η οποία δεν είναι 1-1, αλλά ο περιορισμός της στους άρρητους είναι 1-1.
β) Έχουμε το ίδιο συμπέρασμα αν αντικαταστήσουμε τους άρρητους με ρητούς;
(Για το δεύτερο ερώτημα δεν έχω λύση)
Φιλικα
1)αν υποθεσουμε οτι τετοια συναρτηση υπαρχει τοτε θα ναι συνεχης και 1-1 στους αρρητους,οποτε θα ναι γνησιως μονοτονη σ αυτους.επειδη οι αρρητοι ειναι πυκνοι στους πραγματικους η συναρτηση θα ναι γν.μονοτονη στο R αρα και 1-1 ατοπο.
2) αν ειναι σωστο το πρωτο τοτε εχουμε το ιδιο επιχειρημα αλλα αναποδα χρησιμοποιωντας την πυκνοτητα των ρητων στους πραγματικους.
Χρήστο,νομίζω πως για να συνεπάγεται η συνέχεια μαζί με το 1-1 το γνησίως μονότονη θα πρέπει να συμβαίνουν αυτά σε διάστημα και οι άρρητοι δεν συνιστούν διάστημα, όπως επίσης και οι ρητοί.
Φιλικά