Ισότητα ολοκληρωμάτων

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ισότητα ολοκληρωμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 06, 2020 11:12 am

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ωστε f(x + \pi ) = f(x -\pi) = f(x) για κάθε x \in \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 06, 2020 12:21 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 06, 2020 11:12 am
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ωστε f(x + \pi ) = f(x -\pi) = f(x) για κάθε x \in \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x }
Χμμμ. Κάποιο τυπογραφικό θα υπάρχει, εκτός αν δεν βλέπω κάτι.

Για f(x)=1 το αριστερό μέλος (που ανήκει στην οικογένεια ολοκληρωμάτων Fresnel) ισούται με \dfrac {\sqrt {2\pi}}{2} , ενώ το δεξί \pi. Χάνω κάτι;

Edit: Προσοχή, δεν είναι σωστό το σχόλιο που γράφω (βλέπε τα παρακάτω ποστ). Όμως, από ότι φαίνεται, η άσκηση ούτως ή άλλως δεν είναι σωστή.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Δεκ 06, 2020 4:14 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3368
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 06, 2020 2:37 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 06, 2020 12:21 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Δεκ 06, 2020 11:12 am
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ωστε f(x + \pi ) = f(x -\pi) = f(x) για κάθε x \in \mathbb{R}. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x }
Χμμμ. Κάποιο τυπογραφικό θα υπάρχει, εκτός αν δεν βλέπω κάτι.

Για f(x)=1 το αριστερό μέλος (που ανήκει στην οικογένεια ολοκληρωμάτων Fresnel) ισούται με \dfrac {\sqrt {2\pi}}{2} , ενώ το δεξί \pi. Χάνω κάτι;
Συμφωνώ ότι σίγουρα υπάρχει τουλάχιστον τυπογραφικό.
Αλλά

\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx={\int_{0}^{\infty} \sin^2 x}(-\frac{1}{x})' dx={\int_{0}^{\infty} \frac{\sin 2 x}{x}dx=\frac{\pi }{2}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 06, 2020 3:26 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Δεκ 06, 2020 2:37 pm

Συμφωνώ ότι σίγουρα υπάρχει τουλάχιστον τυπογραφικό.
Αλλά

\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx={\int_{0}^{\infty} \sin^2 x}(-\frac{1}{x})' dx={\int_{0}^{\infty} \frac{\sin 2 x}{x}dx=\frac{\pi }{2}
Έχεις δίκιο. Το σφάλμα είναι μικρότερο/διαφορετικό από ότι νόμιζα. Αυτό που έγραψα είναι από παρανάγνωση του ολοκληρώματος

 \displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x^2}{x^2} \, \mathrm{d}x (της οικογένειας Fresnel) στην θέση του οπτικά παρεμφερούς

\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 06, 2020 4:12 pm

Ας επισημάνω ότι, κατά τα φαινόμενα, άσκηση είναι ανοικτή.

Δεν την προσπάθησα αλλά αντιλαμβάνομαι ότι το \dfrac {1}{2} που λείπει στο παραπάνω παράδειγμα, της f(x)=1, δεν φαίνεται να σώζει την κατάσταση. Εξετάζοντας με χρήση λογισμικού την f(x)= \sin (2x) (που ικανοποιεί τις υποθέσεις), για να δω αν το \dfrac {1}{2} επαρκεί, βρίσκω πως δεν κάνει:

\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \sin (2x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \ln 2 ενώ

\displaystyle{ \int_{0}^{\pi} \sin (2x)  \, \mathrm{d}x }=0}.

Κάνω λάθος;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4653
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 06, 2020 5:42 pm

Η λύση που έχω δει πάει ως εξής

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2}\, \mathrm{d}x &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{k \pi}^{(k+1) \pi} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2}\, \mathrm{d}x \\  
 &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\pi} f \left ( t + k \pi \right ) \frac{\sin^2 \left ( t + k \pi \right )}{\left ( t + k \pi \right )^2} \, \mathrm{d}t \\  
 &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\pi} f(t) \frac{(-1)^{2k} \sin^2 t}{\left ( t + k \pi \right )^2} \, \mathrm{d}t \\  
 &=\int_{0}^{\pi} f(t) \sin^2 t \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left ( t + k \pi \right )^2} \, \mathrm{d}t \\  
 &= \int_{0}^{\pi} f(t) \, \mathrm{d}t  
\end{aligned}}
Δε βλέπω να έχω κάνει λάθος αντιγραφή της εκφώνησης. ... Αλλά βλέποντας και τη λύση αρχίζω να πιστεύω ότι το πρόβλημα είναι στο κάτω άκρο του ολοκληρώματος. Μάλλον η σχέση θα πρέπει να είναι

\displaystyle{\int_{{\color{red}{-\infty}}}^{\infty} f(x) \frac{\sin^2 x}{x^2} \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x}

Ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη που έκρουσε τον κώδωνα του κινδύνου.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες