Υπολογισμός αθροίσματος

TrItOs · #1

Να υπολογιστεί το άθροισμα
$\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{\displaystyle{\Big( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \Big)^{n}}}{\displaystyle{n^{3}}}$
Ερώτημα : Τι συμβαίνει με τον αριθμό $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ (τον έχω συναντήσει και σε άλλα προβλήματα, υπάρχει κάτι σχετικά με αυτόν τον αριθμό) ;

#2

TrItOs έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 6:30 pm

Ερώτημα : Τι συμβαίνει με τον αριθμό $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ (τον έχω συναντήσει και σε άλλα προβλήματα, υπάρχει κάτι σχετικά με αυτόν τον αριθμό) ;

Αν βοηθάει, είναι ίσος με τον αριθμό $\dfrac {1}{\phi ^2}$ , όπου $\phi$ η χρυσός αριθμός. Δηλαδή $\displaystyle{\phi = \dfrac {1+\sqrt 5}{2}}$ .

Tolaso J Kos · #3

TrItOs έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 6:30 pm
Να υπολογιστεί το άθροισμα
$\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{\displaystyle{\Big( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \Big)^{n}}}{\displaystyle{n^{3}}}$
Ερώτημα : Τι συμβαίνει με τον αριθμό $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ (τον έχω συναντήσει και σε άλλα προβλήματα, υπάρχει κάτι σχετικά με αυτόν τον αριθμό) ;

Η συνάρτηση $\mathrm{Li}_3$ ορίζεται ως

$\displaystyle{\mathrm{Li}_3(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^3}}$
Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται τριλογάριθμος. Η συνάρτηση αυτή έχει ωραίες ιδιότητες μία εκ των οποίων είναι η ακόλουθη:

$\displaystyle{\mathrm{Li}_{3}(z) + \mathrm{Li}_{3}(1-z)+ \mathrm{Li}_{3}\left(1 - \frac{1}{z}\right) = \zeta(3) + \frac{\ln^{3} z }{6}+ \frac{\pi^2 \ln z}{6}- \frac{\ln^2 z \ln(1-z)}{2} \quad , \quad z \in \left ( -1 , \frac{1}{2} \right ] }$
Για $z=\frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{\varphi^2}$ έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{Li}_3 \left ( 1 - \frac{1}{\varphi^2} \right ) + \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) + \mathrm{Li}_3 \left ( 1 - \frac{1}{1-\frac{1}{\varphi^2}} \right ) &= \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) + \mathrm{Li}_3 \left ( 1 - \frac{1}{\varphi^2} \right ) + \mathrm{Li}_3 \left ( -\left ( 1 - \frac{1}{\phi^2} \right ) \right ) \\ &=\mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) + \frac{1}{4} \mathrm{Li}_3 \left ( \left ( 1 - \frac{1}{\varphi^2} \right )^2 \right ) \\ &=\frac{5}{4} \mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) \end{aligned}}$
όπου στη δεύτερη γραμμή χρησιμοποιήσαμε μία άλλη γνωστή σχέση της τριλογαρίθμου $\displaystyle{\mathrm{Li}_3(z)+\mathrm{Li}_3(-z) = \frac{1}{4} \mathrm{Li}_3(z^2) }$ . Τέλος, για $z=\frac{1}{\varphi^2}$ η πρώτη σχέση ( γνωστής και ως Landen ) δίδει

$\displaystyle{\mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) = \frac{4 \zeta(3)}{5}+\frac{2 \ln^3 \varphi}{3}-\frac{2\pi^2 \ln \varphi}{15}}$

TrItOs · #4

$\displaystyle{\mathrm{Li}_3 \left ( \frac{1}{\varphi^2} \right ) = \frac{4 \zeta(3)}{5}+\frac{2 \ln^3 \varphi}{3}-\frac{2\pi^2 \ln \varphi}{15}}$ Πολύ ωραία σας ευχαριστώ. Γνωρίζετε αν επιλύετε με κάποιο πιο στοιχειώδη τρόπο, ευχαριστώ και πάλι για την βοήθεια.

TrItOs · #5

Οπότε έχουμε ότι:
$\sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{\displaystyle{\Big( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \Big)^{n}}}{\displaystyle{n^{3}}} = \frac{4 \zeta(3)}{5}+\frac{2 \ln^3 \varphi}{3}-\frac{2\pi^2 \ln \varphi}{15}} \quad , \quad \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Πολύ ωραία σας ευχαριστώ. Γνωρίζετε αν επιλύετε με κάποιο πιο "στοιχειώδη" τρόπο, ευχαριστώ και πάλι για την βοήθεια.

Tolaso J Kos · #6

Όταν εννοείς πιο στοιχειώδη , τι εννοείς; Είναι ήδη στοιχειώδης η αντιμετώπιση. Η τριλογάριθμος είναι ήδη καλομελετημένη συνάρτηση.

Υπολογισμός αθροίσματος

Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση