Ολοκλήρωμα

mick7 · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα.
ΥΓ.Δεν έχω λύση.

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} cos(tanx-cotx)dx$

#2

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 3:32 pm
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα.
ΥΓ.Δεν έχω λύση.

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} cos(tanx-cotx)dx$

.
Πρέπει πρώτα απ' όλα να αποφασίσουμε τι ακριβώς εννοούμε την εν λόγω παράσταση δεδομένου ότι δεν έχει νόημα σε άπειρα σημεία, τα $k\pi + \frac {\pi}{2}$ . Αυτό είναι το πρώτο και λιγότερο πρόβλημα του ολοκληρώματος.

Επειδή $\tan x-\cot x$ είναι περιοδική με περίοδο $\frac {\pi}{2}$ είναι λογικό να δώσουμε νόημα στο ολοκλήρωμα ως το άθροισμα

$\displaystyle{\int_{0}^{\frac {\pi}{2}} \cos (\tan x-\cot x)dx + \int_{\frac {\pi}{2}}^{\pi} \cos (\tan x-\cot x)dx + \int_{\pi}^{\frac {3\pi }{2}} \cos (\tan x-\cot x)dx+...}$

όπου τώρα τα επιμέρους ολοκληρώματα έχουν νόημα (ως καταχρηστικά). Αλλά εκεί ακριβώς είναι το δεύτερο και ουσιαστικότερο πρόβλημα με το αρχικό ολοκλήρωμα: Οι προσθετέοι είναι ίσοι μεταξύ τους, οπότε αθροίζουμε μία σειρά από σταθερούς όρους. Όμως το $\displaystyle{ \int_{0}^{\frac {\pi}{2}} \cos (\tan x-\cot x)dx }$ είναι μη μηδενικό. Πράγματι, με χρήση συμμετρίας μπορούμε να δούμε ότι είναι

(δεν έκανα τις λεπτομέρειες μέχρι τέλους αλλά σχεδιασμό του γραφήματος με Maple πείσθηκα ότι είναι σωστό). Άλλωστε το Maple με προσσεγιστική ολοκλήρωση το βγάζει $\approx 0,2$ .

Συμπέρασμα: Το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

Και μία ερώτηση, αν μπορεί να απαντήσει ο θεματοθέτης: Από που είναι η άσκηση;
.

Tolaso J Kos · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 6:58 pm

mick7 έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 3:32 pm
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα.
ΥΓ.Δεν έχω λύση.

$\displaystyle \int_{0}^{\infty} cos(tanx-cotx)dx$
.

Συμπέρασμα: Το ολοκλήρωμα αποκλίνει.

Υποψιάζομαι , λέω εγώ τώρα , ότι μάλλον το σωστό θα είναι να ζητήσει $\mathcal{PV}$ αν και εφόσον αυτή υπάρχει. Δε το κοίταξα.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 8:05 pm
Υποψιάζομαι , λέω εγώ τώρα , ότι μάλλον το σωστό θα είναι να ζητήσει $\mathcal{PV}$ αν και εφόσον αυτή υπάρχει. Δε το κοίταξα.

Θα έλεγα ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά γιατί η PV αφορά ένα σημείο ενώ εμείς έχουμε άπειρα. Βλέπε π.χ. εδώ.

Αν πάλι επεκτείνουμε τον ορισμό σε άπειρα για το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα (επειδή επαναμβάνεται αενάως το ίδιο) τότε, απλούστατα, επενερχόμαστε σε αυτό ακριβώς έκανα παραπάνω. Με λίγα λόγια, δεν έχουμε πρόβλημα να βρούμε το ολοκλήρωμα στο διάστημα περιοδικότητας. Το πρόβλημα είναι ότι δεν είναι

, άρα η σειρά αποκλίνει. Μάλιστα, η σειρά δεν έχει νόημα για τεριμμένους λόγους. Είναι σαν να ρωτάω πόσο κάνει 1+1+1+....

.

mick7 · #5

Γεια σας και ευχαριστώ για την ενασχόληση. Το ολοκλήρωμα προέρχεται από μια ανάρτηση στο Twitter και παραθέτω και το λινκ οπού υπάρχει και αποτέλεσμα..!!!

https://twitter.com/infseriesbot/status ... 3689055232

#6

mick7 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 29, 2020 9:58 am
Γεια σας και ευχαριστώ για την ενασχόληση. Το ολοκλήρωμα προέρχεται από μια ανάρτηση στο Twitter και παραθέτω και το λινκ οπού υπάρχει και αποτέλεσμα..!!!

https://twitter.com/infseriesbot/status ... 3689055232

Ευχαριστώ για την παραπομπή.

Όμως αξίζει ένα σχόλιο γιατί υπάρχει κάτι ενδιαφέρον εδώ.

Πρώτα απ΄ όλα σίγουρα όπως είναι γραμμένη η άσκηση, είναι εσφαλμένη. Όμως με έτρωγε η περιέργεια από που προέρχεται η απάντηση $\dfrac {\pi}{e^2} = 0,4251683316...$ που δίνει. To λοιπόν, με αριθμητική ολοκλήρωση βρήκα ότι

$\int _0^{\pi /2} \cos (\tan x - \cot x) dx \approx 0,2125$ (ουσιαστικά το είχα σημειώσει αυτό στα παραπάνω) που είναι περίπου το μισό του προηγούμενου. Με άλλα λόγια, θα μπορούσε να ισχύει (μαντεύουμε βέβαια εδώ, με την ελπίδα να σώσουμε το αποτέλεσμα του twitter)

$\int _0^{\pi } \cos (\tan x - \cot x) dx = \dfrac {\pi}{e^2}$ (διπλασίασα το διάστημα ολοκλήρωσης).

Ποιος ξέρει. Ακούγεται καλό, και σφυρίζει μέθοδος Μιγαδικής Ολοκλήρωσης.

Tolaso J Kos · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 29, 2020 11:30 am

$\int _0^{\pi } \cos (\tan x - \cot x) dx = \dfrac {\pi}{e^2}$ (διπλασίασα το διάστημα ολοκλήρωσης).

Ποιος ξέρει. Ακούγεται καλό, και σφυρίζει μέθοδος Μιγαδικής Ολοκλήρωσης.

Τώρα μάλιστα. Υπάρχει έτοιμη μεθοδολογία για τα ολοκληρώματα αυτής της μορφής.

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \cos \left ( \tan x - \cot x \right )\, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\pi/2} \cos \left ( \tan x - \frac{1}{\tan x} \right )\, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\overset{u=\tan x}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos \left ( x - \frac{1}{x} \right )}{x^2+1} \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\!\overset{x-1/x=t}{=\! =\! =\! =\!=\!=\!} 2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos t}{t^2+4}\, \mathrm{d}t \\ &= \frac{\pi}{e^2} \end{aligned}}$
διότι όταν θέτουμε $x-\frac{1}{x} = t$ έχουμε ότι $\displaystyle{t^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} -2 \Rightarrow \left(x+\frac{1}{x} \right)^2 = t^2+4 }$ και κατά συνέπεια

$\displaystyle{\left(1 + \frac{1}{x^2} \right) \, \mathrm{d}x = \mathrm{d}t \Rightarrow \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac{x^2}{(1+x^2)^2}\, \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}t}{\left(x+1/x \right)^2} = \frac{\mathrm{d}t}{t^2+4}}$

Υ.Σ 1: Υποθέτω ότι το Glasser's Master Theorem θα λειτουργεί.

Υ.Σ 2: Το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos t}{t^2+4}\, \mathrm{d}t$ υπολογίζεται με μιγαδική.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 29, 2020 11:30 am
Ακούγεται καλό, και σφυρίζει μέθοδος Μιγαδικής Ολοκλήρωσης.

Υ.Σ 3: Θυμίζει και λίγο Cauchy-Schlömilch μετασχηματισμό.

mick7 · #8

Αν δεις Tolaso στο λογαριασμό του ανεβάζει συνέχεια τέτοια για τα οποία καταλαβαίνω ότι έχεις ιδιαίτερη κλίση.

https://twitter.com/infseriesbot

Tolaso J Kos · #9

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 01, 2020 11:14 pm
Αν δεις Tolaso στο λογαριασμό του ανεβάζει συνέχεια τέτοια για τα οποία καταλαβαίνω ότι έχεις ιδιαίτερη κλίση.

Εντάξει είναι γνωστές κλασσικές μεθοδολογίες!

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση