Υπολογισμός αθροίσματος

TrItOs · #1

Να υπολογιστεί η σειρά(εφόσον και εάν συγκλίνει):
$\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \Bigg( e - \Big( 1 + \frac{1}{n} \Big)^{n} \Bigg) }$

Tolaso J Kos · #2

Η σειρά αποκλίνει. Γενικότερα , θα μελετήσουμε τη σύγκλιση της σειράς

$\displaystyle{\mathcal{S}_\alpha = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( e - \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^{n+\alpha} \right )}$
Απόδειξη: Η σειρά συγκλίνει για $\alpha=\frac{1}{2}$ . Πράγματι, παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \log \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n +a} &= \frac{n+\alpha}{n+\frac{1}{2}} \left ( n + \frac{1}{2} \right )\log \left(1 + \frac{1}{n} \right)\\ &=\frac{n+\alpha}{n+\frac{1}{2}} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} +\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3} \right) \right) \\ &= \frac{n+\alpha}{n+\frac{1}{2}}\left(1 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2} \right) \right) \\ &= \left(1 + \frac{\alpha - 1/2}{n + 1/2} \right)\left(1 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2} \right) \right) \end{aligned} }$
καθώς,

$\displaystyle{\begin{aligned} e- \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{n+\alpha} &= e - \exp \left(1 + \frac{\alpha -\frac{1}{2}}{n + \frac{1}{2}} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \\ &= \frac{e \left (\frac{1}{2}-\alpha \right )}{n + \frac{1}{2}} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2} \right) \end{aligned}}$

Παλιότερα θέμα εδώ.

TrItOs · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 12, 2020 8:54 pm
Η σειρά αποκλίνει. $\leftarrow$ ( Με πιο ακριβώς κριτήριο διαπιστώνεται η απόκλιση της σειράς ; )

#4

TrItOs έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:31 pm

Η σειρά αποκλίνει. $\leftarrow$ ( Με πιο ακριβώς κριτήριο διαπιστώνεται η απόκλιση της σειράς ; )

Είναι ΠΟΛΥ απλό να δείξεις ότι η σειρά με γενικό όρο $\displaystyle{ \frac{e \left (\frac{1}{2}-\alpha \right )}{n + \frac{1}{2}} }$ όπου $a\ne 1/2$ , αποκλίνει.

Το βάζω άσκηση σε σένα. Δεν υπάρχει βιβλίο Απειροστικού Λογισμού χωρίς να αναφέρεται διεξοδικά σε τέτοιες σειρές. Μόνο τα νούμερα αλλάζουν.

Υπολογισμός αθροίσματος

Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Re: Υπολογισμός αθροίσματος

Μέλη σε σύνδεση