Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 363
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Νοέμ 22, 2020 4:29 pm

13) Έστω συνάρτηση f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} Lebesgue ολοκληρώσιμη. Έστω g(t) = \int_{\mathbb{R}}f(x) e^{i t x} dx.
Δείξτε ότι η g είναι συνεχής στο \mathbb{R}.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:25 pm

14) Έστω A_1,...,A_n,... μετρήσιμα τ.ω

i) \lambda (A_n) \geq 1/2 για κάθε k

ii) \lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4 για κάθε k \neq s

Τότε  \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1 .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 25, 2020 10:09 pm

mikemoke έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:25 pm
14) Έστω A_1,...,A_n,... μετρήσιμα τ.ω

i) \lambda (A_k) \geq 1/2 για κάθε k

ii) \lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4 για κάθε k \neq s

Τότε  \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1 .
Υπήρχε ένα τυπογραφικό στην εκφώνηση,το οποίο διόρθωσα.

Πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα.
Να προσθέσω ότι το αποτέλεσμα είναι το καλύτερο δυνατό.
Δηλαδή μπορούμε να βρούμε

A_1,...,A_n,... μετρήσιμα
ώστε
i) \lambda (A_k) \geq 1/2 για κάθε k

ii) \lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4 για κάθε k \neq s

και  \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) =1

το προτείνω σαν επιπλέον ερώτημα.

Θα περιμένω λύση.
Αν δεν δοθεί σε καμία βδομάδα θα βάλω την δική μου.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 25, 2020 10:47 pm

stranger έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 4:29 pm
13) Έστω συνάρτηση f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} Lebesgue ολοκληρώσιμη. Έστω g(t) = \int_{\mathbb{R}}f(x) e^{i t x} dx.
Δείξτε ότι η g είναι συνεχής στο \mathbb{R}.
Λύσεις που δείχνουν ότι είναι και ομοιόμορφα συνεχής υπάρχουν στο

https://math.stackexchange.com/question ... continuous

Πρόκειται για μια μορφή του μετασχηματισμου Fourier.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Αν θέλουμε απλά την συνέχεια τότε παίρνοντας t_{n}\rightarrow t_{0}
και εφαρμόζοντας το κυριαρχιμένης προκύπτει άμεσα.

Γενικά η ομοιόμορφη συνέχεια αποδεικνύεται και χωρίς κυριαρχιμένης.

Τα ίδια ισχύουν και αν θέσουμε
g(t) = \int_{\mathbb{R}^n}f(x) e^{i t x} dx.
οπου t\in \mathbb{R}^{n}
και tx είναι εσωτερικό γινόμενο


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12970
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 25, 2020 11:42 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Δεκ 25, 2020 10:09 pm
Υπήρχε ένα τυπογραφικό στην εκφώνηση,το οποίο διόρθωσα.

Πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα.
Να προσθέσω ότι το αποτέλεσμα είναι το καλύτερο δυνατό.
Δηλαδή μπορούμε να βρούμε

A_1,...,A_n,... μετρήσιμα
ώστε
i) \lambda (A_k) \geq 1/2 για κάθε k

ii) \lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4 για κάθε k \neq s

και  \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) =1

το προτείνω σαν επιπλέον ερώτημα.

Θα περιμένω λύση.
Αν δεν δοθεί σε καμία βδομάδα θα βάλω την δική μου.
Σταύρο, πιο τυπογραφικό εννοείς;

Ρωτάω γιατί θυμάμαι ότι ασχολήθηκα για λίγο με την άσκηση αλλά δεν μπορούσα να την λύσω. Δεν θυμάμαι την ακριβή της
εκφώνηση όσο την προσπαθούσα. Ίσως έφταιγε το τυπογραφικό ή ότι την εγκατέλειψα νωρίς γιατί έχω πολύ φόρτο εργασίας
και είμαι πάντα βιαστικός, εκτός όταν ... ξεχνιέμαι.

Όσο για το νέο ερώτημα που θέτεις, το παρακάτω νομίζω ότι μας κάνει. Το κάθε επόμενο σύνολο είναι "το μισό του προηγούμενου συν το μισό του συμπληρώματός του", επ' άπειρον, στο [0,1]. Στην εικόνα τα πρώτα πέντε σύνολα. Ελπίζω να μη λέω καμιά πατάτα γιατί πάλι δουλεύω υπό πίεση.
Συνημμένα
misa kai misa.png
misa kai misa.png (4.6 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 26, 2020 11:01 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Δεκ 25, 2020 11:42 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Δεκ 25, 2020 10:09 pm
Υπήρχε ένα τυπογραφικό στην εκφώνηση,το οποίο διόρθωσα.

Πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα.
Να προσθέσω ότι το αποτέλεσμα είναι το καλύτερο δυνατό.
Δηλαδή μπορούμε να βρούμε

A_1,...,A_n,... μετρήσιμα
ώστε
i) \lambda (A_k) \geq 1/2 για κάθε k

ii) \lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4 για κάθε k \neq s

και  \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) =1

το προτείνω σαν επιπλέον ερώτημα.

Θα περιμένω λύση.
Αν δεν δοθεί σε καμία βδομάδα θα βάλω την δική μου.
Σταύρο, πιο τυπογραφικό εννοείς;

Ρωτάω γιατί θυμάμαι ότι ασχολήθηκα για λίγο με την άσκηση αλλά δεν μπορούσα να την λύσω. Δεν θυμάμαι την ακριβή της
εκφώνηση όσο την προσπαθούσα. Ίσως έφταιγε το τυπογραφικό ή ότι την εγκατέλειψα νωρίς γιατί έχω πολύ φόρτο εργασίας
και είμαι πάντα βιαστικός, εκτός όταν ... ξεχνιέμαι.

Όσο για το νέο ερώτημα που θέτεις, το παρακάτω νομίζω ότι μας κάνει. Το κάθε επόμενο σύνολο είναι "το μισό του προηγούμενου συν το μισό του συμπληρώματός του", επ' άπειρον, στο [0,1]. Στην εικόνα τα πρώτα πέντε σύνολα. Ελπίζω να μη λέω καμιά πατάτα γιατί πάλι δουλεύω υπό πίεση.
Καλημέρα Μιχάλη.
Σωστή είναι η λύση που έδωσες στο ερώτημα μου.
Είναι ίδια με την δική μου ,μόνο που για μένα ήταν αυτόματο λόγω του
https://en.wikipedia.org/wiki/Rademacher_system

Το τυπογραφικό που διόρθωσα είναι
mikemoke έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:25 pm
14) Έστω A_1,...,A_n,... μετρήσιμα τ.ω

i) \lambda (A_n) \geq 1/2 για κάθε k

ii) \lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4 για κάθε k \neq s

Τότε  \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1 .
η i) έπρεπε να είναι

i) \lambda (A_k) \geq 1/2 για κάθε k


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 363
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Δεκ 27, 2020 2:16 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Δεκ 25, 2020 10:47 pm
stranger έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 4:29 pm
13) Έστω συνάρτηση f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} Lebesgue ολοκληρώσιμη. Έστω g(t) = \int_{\mathbb{R}}f(x) e^{i t x} dx.
Δείξτε ότι η g είναι συνεχής στο \mathbb{R}.
Λύσεις που δείχνουν ότι είναι και ομοιόμορφα συνεχής υπάρχουν στο

https://math.stackexchange.com/question ... continuous

Πρόκειται για μια μορφή του μετασχηματισμου Fourier.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Αν θέλουμε απλά την συνέχεια τότε παίρνοντας t_{n}\rightarrow t_{0}
και εφαρμόζοντας το κυριαρχιμένης προκύπτει άμεσα.

Γενικά η ομοιόμορφη συνέχεια αποδεικνύεται και χωρίς κυριαρχιμένης.

Τα ίδια ισχύουν και αν θέσουμε
g(t) = \int_{\mathbb{R}^n}f(x) e^{i t x} dx.
οπου t\in \mathbb{R}^{n}
και tx είναι εσωτερικό γινόμενο
Ευχαριστούμε Σταύρο.
Ήταν πολύ εύκολη τελικά!


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 363
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Δεκ 27, 2020 2:38 pm

stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:22 pm
11) Έστω A και B δύο \sigma-άλγεβρες με στοιχεία υποσύνολα των X,T αντίστοιχα.
Έστω \nu ένα πεπερασμένο μέτρο στον (T,B). Έστω ότι για κάθε t \in T έχουμε ένα πεπερασμένο μέτρο \mu_t στο (X,A) ώστε η απεικόνιση t \rightarrow \mu_t(S) είναι B- μετρήσιμη για κάθε S \in A.
Δείξτε ότι
α) Η απεικόνιση \mu(S) = \int_{T} \mu_t(S) d \nu(t) είναι μέτρο.
β) Αν μια απεικόνιση f είναι \mu- ολοκληρώσιμη τότε \int_{X}f d \mu = \int_{T} \int_{X} f(x) d\mu_t(x) d \nu(t).
Κανείς;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 03, 2021 11:46 am

mikemoke έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 10:25 pm
14) Έστω A_1,...,A_n,... μετρήσιμα τ.ω

i) \lambda (A_k) \geq 1/2 για κάθε k

ii) \lambda (A_s \cap A_k ) \leq 1/4 για κάθε k \neq s

Τότε  \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1 .
Θα γράψω την πρώτη λύση που έκανα.
Με όρους θεωρίας Πιθανοτήτων.
Μπορεί να τροποποιηθεί ώστε να μην έχουμε ορολογία Πιθανοτήτων αλλά το θεωρώ ''κλέψιμο''

Εστω \displaystyle \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k)=a<1

Θέτουμε \displaystyle \bigcup _{k=1}^{\infty} A_k=A
και θεωρούμε σύνολο
C με A\cap C=\varnothing

Θεωρούμε την σ-άλγεβρα που παράγουν τα A_{k},C

\Omega =A\cup C και m(A_{k})=\lambda (A_{k}),m(C)=1-a

Το (\Omega ,m) είναι χώρος Πιθανότητας.

Εστω m(A_{k})=p_{k}\geq \frac{1}{2}

Θεωρούμε τις τυχαίες μεταβλητες

\displaystyle X_k με X_k=1 στο A_{k} και 0 αλλού.

Είναι
\displaystyle E(X_{k})=p_{k},V(X_k)=p_{k}(1-p_{k})\leq \frac{1}{4}

Επίσης
\displaystyle V(\sum_{k=1}^{n}X_k)=\sum_{k=1}^{n}V(X_k)+2\sum _{k<r}cov(X_k,X_r)\leq n\frac{1}{4}
γιατί
\displaystyle cov(X_k,X_r)=E(X_kX_r)-E(X_k)E(X_r)\leq \frac{1}{4}-p_k p_r\leq 0

Εδώ είναι το σημείο που παίζει ρόλο το 1/2,1/4

Είναι
\displaystyle C\subseteq \left \{ \omega :|\sum_{k=1}^{n}X_k-\sum_{k=1}^{n}p_k|\geq \frac{n}{2} \right \}

Από την γνωστή ανισότητα του Chebyshev έχουμε
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality

\displaystyle m(C)\leq m(\left \{ \omega :|\sum_{k=1}^{n}X_k-\sum_{k=1}^{n}p_k|\geq \frac{n}{2} \right \})\leq \frac{V(\sum_{k=1}^{n}X_k)}{(\frac{n}{2})^{2}}\leq \frac{1}{n}

Αρα \displaystyle m(C)=0 ΑΤΟΠΟ.



Στην ουσία δείξαμε

Έστω A_1,...,A_n,... μετρήσιμα τ.ω

i) \lambda (A_k) \geq a>0 για κάθε k

ii) \lambda (A_s \cap A_k ) \leq b για κάθε k \neq s
με b \leq a^2

Τότε  \lambda (\bigcup _{k=1}^{\infty} A_k) \geq 1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης