Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Νοέμ 12, 2020 3:40 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 3:22 pm
stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 3:04 pm
Υπολογίστε το \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4+1} dx.
Υπόδειξη: Μιγαδική Ανάλυση
Δεν είναι η θέση της σε θρεντ Θεωρίας Μέτρου, ούτε η Μιγαδική Ανάλυση (όπως λέει η υπόδειξη) είναι απαραίτητη. Θα δείξω τρόπο χωρίς Μιγαδική διότι με Μιγαδική το εν λόγω παράδειγμα υπάρχει σε όλα τα σχετικά βιβλία, συχνά λυμένο.

Η αλλαγή μεταβλητής y=1/x δείχνει ότι το δοθέν ολοκλήρωμα I ικανοποιεί

\displaystyle{I= \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{x^4+1} dx} . Άρα

\displaystyle{2I = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2+1}{x^4+1} dx= \int_{0}^{\infty} \frac{x^2-\sqrt 2x+ 1}{x^4+1} dx +\sqrt 2 \int_{0}^{\infty} \frac{ x}{x^4+1} dx}

\displaystyle{ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2-\sqrt 2x+ 1 } dx +\sqrt 2 \int_{0}^{\infty} \frac{ x}{x^4+1} dx}

Τώρα το μεν πρώτο είναι άμεσο με τόξο εφαπτομένης και το δεύτερο με την αλλαγή μεταβλητής y=x^2. Τα αφήνω ως άμεσα και γνωστά.
Ωραία λύνεται στοιχειωδώς.

6) Έστω (X,M,\mu) ένας χώρος μέτρου και συναρτήσεις f_n μετρήσιμες ώστε να υπάρχει g ολοκληρώσιμη με f_n(x) \leq g(x) \forall x.
Δείξτε ότι \limsup_{n \rightarrow \infty} \int_{X} f_n d\mu \leq \int_{X} \limsup_{n \rightarrow \infty} f_n d\mu.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4449
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 12, 2020 3:56 pm

stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 3:04 pm
Υπολογίστε το \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4+1} dx.
Υπόδειξη: Μιγαδική Ανάλυση

Μιγαδική; Σίγουρα όχι;

Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_0^\infty \frac{\mathrm{d}x}{x^4+1} &=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(x^4+1)t} \, \mathrm{d}t\, \mathrm{d}x\\ 
&=\int_0^\infty e^{-t}\int_0^\infty e^{-x^4 t} \, \mathrm{d}t\, \mathrm{d}x\\ 
&=\int_0^\infty e^{-t}\left(\int_0^\infty e^{-x^4 t}\, \mathrm{d}x\right)\, \mathrm{d}t \\ 
&=\frac14\int_0^\infty t^{-\frac14}e^{-t}\left(\int_0^\infty u^{\frac14-1} e^{-u}{\rm{d}}u\right)\, \mathrm{d}t\\ 
&=\frac14 \Gamma\left(1-\frac14\right)\Gamma\left(\frac14\right)\\ 
&=\frac{\pi}{4\sin \frac{\pi}{4}}\\ 
&= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} 
\end{aligned} }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 12, 2020 9:16 pm

stranger έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 2:17 pm
stranger έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 5:03 pm
Έστω συνάρτηση f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} ολοκληρώσιμη(Lebesgue) στο [0,1].
Δείξτε ότι για κάθε \epsilon >0 υπάρχει \delta >0 ώστε για κάθε μετρήσιμο σύνολο E \subset [0,1] με \lambda(E) < \delta ισχύει |\int_{E} f d \lambda| < \epsilon.
Εδώ \lambda είναι το μέτρο Lebesgue.
Εις άτοπον.
Έστω ότι υπάρχει \epsilon >0 ώστε για κάθε \delta>0 υπάρχει μετρήσιμο σύνολο E με \lambda(E)<\delta και \int_{E}|f| d\lambda \geq \epsilon.
Για κάθε n \in \mathbb{N} επιλέγουμε σύνολο E_n μετρήσιμο με \lambda(E_n)< \frac{1}{n^2} και \int_{E_n}|f|d \lambda \geq \epsilon.
Έστω το σύνολο E= \cap_{n=1}^{\infty} \cup_{k=n}^{\infty}E_k.
Τότε το E είναι μετρήσιμο και \lambda(E) \leq \lambda(\cup_{k=n}^{\infty}E_k) για κάθε n \in \mathbb{N}.
Όμως \lambda(\cup_{k=n}^{\infty}E_k) \leq \sum_{k=n}^{\infty} \lambda(E_k) \leq \sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{k^2} \rightarrow 0 όταν n \rightarrow \infty.
Άρα \lambda(E)=0. Επίσης το F \rightarrow \int_{F}|f| d\lambda είναι μέτρο.
Άρα αφού η f είναι ολοκληρώσιμη έχουμε \int_E |f| d\lambda = \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{\cup_{k=n}^{\infty} E_k}|f| d \lambda \geq \limsup_{n \rightarrow \infty}\int_{E_n} |f| d\lambda \geq \epsilon.
Όμως \int_{E} |f| d \lambda = 0 επειδή \lambda(E)=0 το οποίο φέρνει το άτοπο.
Άρα τελικά \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall E \lambda(E)<\delta \implies |\int_{E}f d \lambda| \leq \int_{E}|f| d \lambda < \epsilon.
Θα περιγράψω την φυσιολογική απόδειξη που στα περισσότερα βιβλία είναι στην θεωρία.
1)βημα Υπάρχει n\in \mathbb{N}
ώστε αν
A_{n}=\left \{ x:|f(x)|> n \right \}
τότε
\int _{A_{n}}|f|< \frac{\epsilon }{2}
2)βήμα.Παίρνουμε \delta <\frac{\epsilon }{2n}
και για
A με |A|<\delta
γράφουμε
A=(A\cap A_{n})\cup (A\cap X- A_{n})

Εβαλα X γιατί ισχύει γενικότερα με την ίδια απόδειξη.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 12, 2020 9:22 pm

stranger έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 3:40 pm

6) Έστω (X,M,\mu) ένας χώρος μέτρου και συναρτήσεις f_n μετρήσιμες ώστε να υπάρχει g ολοκληρώσιμη με f_n(x) \leq g(x) \forall x.
Δείξτε ότι \limsup_{n \rightarrow \infty} \int_{X} f_n d\mu \leq \int_{X} \limsup_{n \rightarrow \infty} f_n d\mu.
Χρειάζεται τίποτα περισσότερο από το να γραφεί
Εφαρμόζουμε το λήμμα του Fatou στις
r_{n}(x)=g(x)-f_n(x);


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4449
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:19 pm

stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 3:04 pm
Υπολογίστε το \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4+1} dx.
Υπόδειξη: Μιγαδική Ανάλυση


Θεωρούμε το contour \mathcal{C} το οποίο είναι προσανατολισμένο counterclockwise με ακτίνα R>1 καθώς και τη συνάρτηση \displaystyle f(z) = \frac{1}{z^4+1}.
\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
\draw[->] (-1,0) -- (4, 0) node[below]{x}; 
\draw[->] (0, -1) -- (0, 4) node[left]{y}; 
\draw[shift={(0,0)}, line width=1.6pt, cyan!60!black] plot[domain=0:1.57,variable=\t]({1*3*cos(\t r)+0*3*sin(\t r)},{0*3*cos(\t r)+1*3*sin(\t r)}); 
\draw[line width=1.6pt, red!60!black] (0, 3) -- (0, 0); 
\draw[line width=1.6pt, blue!60!black] (0, 0) -- (3, 0); 
\draw (1.5, 0) node[below]{\text{\gr γ}}; 
\draw (0, 1.5) node[left]{\text{\gr δ}}; 
\draw (2.5, 2) node[right]{\text{\gr ε}}; 
\draw (0, 0) node[below left]{0}; 
\end{tikzpicture}}
Τότε,
\displaystyle{\begin{aligned} 
\left |\int \limits_{\varepsilon} f(z) \, \mathrm{d}z  \right |  &= \left | \int \limits_{\varepsilon} \frac{\mathrm{d}z}{z^4+1} \right | \\  
 &\!\!\!\!\!\!\overset{z=Re^{i \varphi}}{=\! =\! =\! =\! =\!} \left | \int_{0}^{\pi/2} \frac{i R e^{i \varphi}}{1 + R^4 e^{4i \varphi}} \, \mathrm{d} \varphi \right | \\  
 &\leq \int_{0}^{\pi/2} \left| \frac{iRe^{i\phi}}{1+ R^4e^{4i\phi}} \, \mathrm{d} \varphi \right| \\  
 &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{R}{\left | R^4-1 \right |} \, \mathrm{d} \varphi \\  
 &\!\!\!\!\overset{R>1}{=\! =\! =\!} \int_{0}^{\pi/2} \frac{R}{R^4-1} \, \mathrm{d} \varphi \\ 
 &= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{R}{R^4 - 1} \xrightarrow{R \rightarrow +\infty} 0 
\end{aligned}}
Όμοια,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int \limits_{\delta} f(z) \, \mathrm{d}z &= \int \limits_{\delta} f(z) \, \mathrm{d}z \\  
 &= \int \limits_{\delta} \frac{\mathrm{d}z}{z^4+1} \\  
 &\!\!\!\!\!\overset{z=iy}{=\! =\! =\!=\!} \int_{R}^{0} \frac{i}{1 + \left ( iy \right )^4} \, \mathrm{d}y \\  
 &= -i \int_{0}^{R} \frac{\mathrm{d}y}{1+y^4} \xrightarrow{R \rightarrow +\infty} -i \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}y}{1+y^4} 
\end{aligned}}
Ο μόνος πόλος της f που βρίσκεται μέσα στο contour είναι ο e^{i \pi/4} με residue \displaystyle{\mathfrak{Res}\left ( f ; e^{i \pi/4} \right ) = -\frac{1+i}{4\sqrt{2}}}. Τότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\oint \limits_{\mathcal{C}} f(z) \, \mathrm{d}z = 2 \pi i \mathfrak{Res} \left ( f ; e^{i \pi/4} \right ) &\Leftrightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1+z^4} - i \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^4} = -2 \pi i \frac{1+i}{4\sqrt{2}}  \\  
 &\Leftrightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1+z^4} - i \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^4} = \frac{\left ( 1-i \right ) \pi}{2 \sqrt{2}}\\  
 &\Leftrightarrow \left ( 1-i \right ) \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^4} =  \frac{\left ( 1-i \right ) \pi}{2 \sqrt{2}}\\  
 &\Leftrightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^4} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Νοέμ 13, 2020 2:06 pm

ΛΑΘΟΣ.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 14, 2020 10:52 pm

7) Έστω (X,M,\mu) ένας χώρος πεπερασμένου μέτρου και f μια συνάρτηση M- μετρήσιμη με \int_{X}|f| d\mu < \infty.
Έστω F \subset M μια \sigma-άλγεβρα.
Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση g η οποία είναι F-μετρήσιμη ώστε για κάθε E \in F ισχύει \int_{E}f d\mu = \int_{E}g d \mu.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:04 pm

8) Σωστό η λάθος;
Σε ένα χώρο πεπερασμένου μέτρου κάθε θετική μετρήσιμη συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Νοέμ 20, 2020 1:12 am

9) Έστω f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R} με f(x) = [x^{-1}]^{-1} \chi(x) όπου \chi η χαρακτηριστική συνάρτηση των αρρήτων στο \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lebesgue μετρήσιμη. Είναι ολοκληρώσιμη;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Νοέμ 20, 2020 1:16 am

10) Βρείτε το όριο \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n}(1+ \frac{x}{n})^n e^{-2x} dx.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 20, 2020 10:19 am

stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:16 am
10) Βρείτε το όριο \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n}(1+ \frac{x}{n})^n e^{-2x} dx.
Είναι \displaystyle{ \int_{0}^{n} \left (1+ \frac{x}{n}\right )^n e^{-2x} dx= \int_{0}^{\infty}\left (1+ \frac{x}{n}\right )^n\chi [0,n] e^{-2x} dx}. To ζητούμενο είναι τώρα άμεσο είτε από Θεώρημα Κυριαρχιμένης Σύγκλισης είτε, εξ ίσου καλά, από το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης και τις ιδιότητες

α) η ακολουθία \displaystyle{\left (1+ \frac{x}{n}\right )^n\chi [0,n] e^{-2x} } θετική, αύξουσα, φραγμένη και \displaystyle{\left (1+ \frac{x}{n}\right )^n\chi [0,n] e^{-2x} \to e^xe^{-2x}=e^{-x}}.

β) Το όριο είναι \displaystyle{ \int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 21, 2020 5:50 pm

stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pm
Έστω f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lipshitz με σταθερά M αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και |f^{\prime}(x)| \leq M σχεδόν παντού για x στο [0,1].
Σημείωση: H f είναι Lipshitz με σταθερά M ανν |f(x)-f(y)| \leq M|x-y| για κάθε x,y.
\Rightarrow

Είναι εύκολο να δούμε (είναι ; ) ότι κάθε Lipshitz είναι
φραγμένης κύμανσης.
Ετσι έχει παράγωγο εκτός από ένα αριθμήσιμο σύνολο.
Προφανώς όπου υπάρχει η παράγωγος είναι
|f^{\prime}(x)| \leq M.
Με αυτές τις προυποθέσεις ισχύει το θεώρημα του Απειροστικού
(Η συνάρτηση είναι ολοκλήρωμα της παραγώγου)
Αρα είναι και απόλυτα συνεχής.

\Leftarrow

Αφού \displaystyle f(x)-f(y)=\int_{y}^{x}f'(t)dt
και
|f^{\prime}(x)| \leq M.
προκύπτει άμεσα.

Χρησιμοποίησα ότι τον ορισμό για την απόλυτη συνέχεια που λέει
Η f είναι απόλυτα συνεχής αν η παράγωγος της είναι ολοκληρώσιμη
και αυτή είναι το ολοκλήρωμα της παραγώγου.
Θα μπορούσαμε να πάμε και με τον άλλο ισοδύναμο ορισμό για την απόλυτη συνέχεια.
Δηλαδή
Η f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}
είναι απόλυτα συνεχής
αν για \epsilon >0
υπάρχει \delta > 0
ώστε για
a\leq a_{1}< b_{1}\leq a_{2}< b_{2}\leq ...\leq a_{n}< b_{n}\leq b
με
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(b_{k}-a_{k})< \delta
είναι
\displaystyle |\sum_{k=1}^{n}(f(b_{k})-f(a_{k}))|< \epsilon
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Σάβ Νοέμ 21, 2020 6:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 21, 2020 6:17 pm

stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 14, 2020 10:52 pm
7) Έστω (X,M,\mu) ένας χώρος πεπερασμένου μέτρου και f μια συνάρτηση M- μετρήσιμη με \int_{X}|f| d\mu < \infty.
Έστω F \subset M μια \sigma-άλγεβρα.
Δείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση g η οποία είναι F-μετρήσιμη ώστε για κάθε E \in F ισχύει \int_{E}f d\mu = \int_{E}g d \mu.
Θέτουμε
r(E)=\int _{E}fd\mu για E \in F.

Αυτό είναι μέτρο απόλυτα συνεχές ως προς  (X,F,\mu)
Το θεώρημα Radon-Nikodym
μας δίνει το ζητούμενο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 21, 2020 6:42 pm

stranger έγραψε:
Παρ Νοέμ 20, 2020 1:12 am
9) Έστω f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R} με f(x) = [x^{-1}]^{-1} \chi(x) όπου \chi η χαρακτηριστική συνάρτηση των αρρήτων στο \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lebesgue μετρήσιμη. Είναι ολοκληρώσιμη;
Η g:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}
με
\displaystyle g(x) = [x^{-1}]^{-1}
είναι μετρήσιμη.
(μπορούμε να το δούμε με διάφορους τρόπους)

Το συνολο που διαφέρει από την f εχει μέτρο 0.

Αρα και η f είναι μετρήσιμη.

Σαφώς έχουνε και τα ίδια ολοκληρώματα.

Για \frac{1}{n+1}< x\leq \frac{1}{n}
είναι
g(x)=\frac{1}{n}

Ετσι

\displaystyle \int_{0}^{1}g=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}(n+1)}< +\infty


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 21, 2020 9:37 pm

Ευχαριστούμε πολύ Σταύρο.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:22 pm

11) Έστω A και B δύο \sigma-άλγεβρες με στοιχεία υποσύνολα των X,T αντίστοιχα.
Έστω \nu ένα πεπερασμένο μέτρο στον (T,B). Έστω ότι για κάθε t \in T έχουμε ένα πεπερασμένο μέτρο \mu_t στο (X,A) ώστε η απεικόνιση t \rightarrow \mu_t(S) είναι B- μετρήσιμη για κάθε S \in A.
Δείξτε ότι
α) Η απεικόνιση \mu(S) = \int_{T} \mu_t(S) d \nu(t) είναι μέτρο.
β) Αν μια απεικόνιση f είναι \mu- ολοκληρώσιμη τότε \int_{X}f d \mu = \int_{T} \int_{X} f(x) d\mu_t(x) d \nu(t).
τελευταία επεξεργασία από stranger σε Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:37 pm

12) Έστω (X,M,\mu) ένας χώρος μέτρου και μια συνάρτηση f που είναι \mu- ολοκληρώσιμη. Έστω ότι για κάθε \epsilon>0 το σύνολο \{x \in X : f(x)> \epsilon\} έχει πεπερασμένο μέτρο.
Τι έχουμε για το \{x \in X : f(x)>0\};


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 22, 2020 2:26 am

stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:37 pm
12) Έστω (X,M,\mu) ένας χώρος μέτρου και μια συνάρτηση f που είναι \mu- ολοκληρώσιμη. Έστω ότι για κάθε \epsilon>0 το σύνολο \{x \in X : f(x)> \epsilon\} έχει πεπερασμένο μέτρο.
Τι έχουμε για το \{x \in X : f(x)>0\};
Αφού \displaystyle{\{x \in X : f(x)>0\}   = \cup_{n} \{x \in X : f(x)> \frac {1}{n}\}}, το μέτρο είναι σ-πεπερασμένο.

Πρόκειται για αποτέλεσμα που υπάρχει ως απλή παρατήρηση σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Μέτρου.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Κυρ Νοέμ 22, 2020 2:20 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 2:26 am
stranger έγραψε:
Σάβ Νοέμ 21, 2020 11:37 pm
12) Έστω (X,M,\mu) ένας χώρος μέτρου και μια συνάρτηση f που είναι \mu- ολοκληρώσιμη. Έστω ότι για κάθε \epsilon>0 το σύνολο \{x \in X : f(x)> \epsilon\} έχει πεπερασμένο μέτρο.
Τι έχουμε για το \{x \in X : f(x)>0\};
Αφού \displaystyle{\{x \in X : f(x)>0\}   = \cup_{n} \{x \in X : f(x)> \frac {1}{n}\}}, το μέτρο είναι σ-πεπερασμένο.

Πρόκειται για αποτέλεσμα που υπάρχει ως απλή παρατήρηση σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Μέτρου.
Πρέπει να δοθεί παράδειγμα που το \{x: f(x)>0\} δεν έχει πεπερασμένο μέτρο.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 22, 2020 2:32 pm

stranger έγραψε:
Κυρ Νοέμ 22, 2020 2:20 pm
Πρέπει να δοθεί παράδειγμα που το \{x: f(x)>0\} δεν έχει πεπερασμένο μέτρο.
Και αυτό είναι άμεσο και υπάρχει σε όλα τα βιβλία. Το απλούστερο παράδειγμα είναι το \mathbb R. Οπότε οποιαδήποτε φραγμένη, θετική συνάρτηση με πεπερασμένο ολοκλήρωμα μας κάνει. Π.χ. οι \displaystyle{e^{-x^2},\, \frac {1}{1+x^2}}, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες