Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Νοέμ 09, 2020 11:18 pm

Έστω \mu ένα εξωτερικό μέτρο σε ένα σύνολο X.
Έστω ότι για κάθε S \subset X υπάρχει μετρήσιμο σύνολο E με S \subset E και \mu(S)=\mu(E).
Έστω αύξουσα ακολουθία συνόλων (A_j)(όχι κατ'ανάγκην μετρήσιμα).
Δείξτε ότι \lim_{j \rightarrow \infty}\mu(A_j) = \mu(\cup_{n \in \mathbb{N}}A_n).


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pm

Έστω f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lipshitz με σταθερά M αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και |f^{\prime}(x)| \leq M σχεδόν παντού για x στο [0,1].
Σημείωση: H f είναι Lipshitz με σταθερά M ανν |f(x)-f(y)| \leq M|x-y| για κάθε x,y.

Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του \mathbb{R} που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
τελευταία επεξεργασία από stranger σε Τρί Νοέμ 10, 2020 11:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Νοέμ 10, 2020 5:03 pm

Έστω συνάρτηση f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} ολοκληρώσιμη(Lebesgue) στο [0,1].
Δείξτε ότι για κάθε \epsilon >0 υπάρχει \delta >0 ώστε για κάθε μετρήσιμο σύνολο E \subset [0,1] με \lambda(E) < \delta ισχύει |\int_{E} f d \lambda| < \epsilon.
Εδώ \lambda είναι το μέτρο Lebesgue.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
sot arm
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τρί Νοέμ 10, 2020 5:09 pm

Θα βάλω απάντηση σε κάποιες το βραδάκι καθώς δεν προλαβαίνω να γράψω σε λατεχ, απλα να αναφέρω σχετικά με αυτό:
stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pm

Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του \mathbb{R} που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
Πως δεν υπάρχει τέτοια οικογένεια γενικά σε χώρο σ- πεπερασμένου μέτρου.

Από πού είναι οι ασκήσεις αν επιτρέπεται;


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Νοέμ 10, 2020 5:12 pm

sot arm έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 5:09 pm
Θα βάλω απάντηση σε κάποιες το βραδάκι καθώς δεν προλαβαίνω να γράψω σε λατεχ, απλα να αναφέρω σχετικά με αυτό:
stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pm

Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του \mathbb{R} που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
Πως δεν υπάρχει τέτοια οικογένεια γενικά σε χώρο σ- πεπερασμένου μέτρου.

Από πού είναι οι ασκήσεις αν επιτρέπεται;
Οι περισσότερες είναι από διαγωνίσματα που έχω γράψει στη Θεωρία Μέτρου όσο ήμουνα φοιτητής(στην αμερική και στην ελλάδα).


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Νοέμ 10, 2020 5:17 pm

sot arm έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 5:09 pm
Θα βάλω απάντηση σε κάποιες το βραδάκι καθώς δεν προλαβαίνω να γράψω σε λατεχ, απλα να αναφέρω σχετικά με αυτό:
stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pm

Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του \mathbb{R} που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
Πως δεν υπάρχει τέτοια οικογένεια γενικά σε χώρο σ- πεπερασμένου μέτρου.

Από πού είναι οι ασκήσεις αν επιτρέπεται;
Ίσως δεν βλέπω κάτι. Τα σύνολα πρέπει να είναι ξένα ανά δυο και υπεραριθμήσιμα το πλήθος. Πιο αναλυτικά;
τελευταία επεξεργασία από stranger σε Τρί Νοέμ 10, 2020 5:21 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Νοέμ 10, 2020 5:19 pm

ΛΑΘΟΣ


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
sot arm
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pm

Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω:  ( X , \mathcal{M}, \mu ) χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου
και  \{A_{i} \} , i \in I οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της  \mathcal{M} θετικού μέτρου, θα δείξω πως το I είναι το πολύ αριθμήσιμο.

Αφού ο  ( X , \mathcal{M}, \mu ) είναι χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου υπάρχουν \{E_{k}\}_{k \in \mathbb{N}} θετικού πεπερασμένου μέτρου
με \displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k} = X } .

Θέτουμε:  I_{n}= \bigcup_{k=1}^{n}E_{k} τότε η I_{n} είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον X . Αν το I είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης N έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των  A_{i} να περιέχονται στο I_{N} .

Έστω τώρα  J_{N,n} = \{ A_{i} , i \in I  : A_{i} \subset I_{N} , \mu(A_{i}) \geq \frac{1}{k} \} . Τότε εμφανώς το σύνολο:  \bigcup_{k=1}^{\infty}J_{N,k} περιέχει όλα τα A_{i} που περιέχονται στο I_{N} , άρα κάποιο εκ των J_{N,k} υπεραριθμήσιμο.

Αυτό είναι άτοπο καθώς το πλήθος τους μπορεί να είναι το πολύ  \mu(I_{N}) k αφού είναι ξένα ανά δύο , άρα το ζητούμενο έχει δειχθεί.

edit- συμπλήρωση: μπορούμε να πούμε το ίδιο στην περίπτωση όπου έχουμε ξένα ανά δύο υποσύνολα με θετικό εξωτερικό μέτρο;
Δηλαδή δεν υποθέτω την μετρησιμότητα που χρησιμοποιήθηκε στο τελευταίο βήμα


edit 2 : Υπάρχει λάθος , συμπληρώνω από κάτω τις λεπτομέριες, ευχαριστώ τον κύριο Σταύρο που το παρατήρησε.
τελευταία επεξεργασία από sot arm σε Τρί Νοέμ 10, 2020 11:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Νοέμ 10, 2020 9:35 pm

sot arm έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pm
Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω:  ( X , \mathcal{M}, \mu ) χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου
και  \{A_{i} \} , i \in I οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της  \mathcal{M} θετικού μέτρου, θα δείξω πως το I είναι το πολύ αριθμήσιμο.

Αφού ο  ( X , \mathcal{M}, \mu ) είναι χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου υπάρχουν \{E_{k}\}_{k \in \mathbb{N}} θετικού πεπερασμένου μέτρου
με \displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k} = X } .

Θέτουμε:  I_{n}= \bigcup_{k=1}^{n}E_{k} τότε η I_{n} είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον X . Αν το I είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης N έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των  A_{i} να περιέχονται στο I_{N} .

Έστω τώρα  J_{N,n} = \{ A_{i} , i \in I  : A_{i} \subset I_{N} , \mu(A_{i}) \geq \frac{1}{k} \} . Τότε εμφανώς το σύνολο:  \bigcup_{k=1}^{\infty}J_{N,k} περιέχει όλα τα A_{i} που περιέχονται στο I_{N} , άρα κάποιο εκ των J_{N,k} υπεραριθμήσιμο.

Αυτό είναι άτοπο καθώς το πλήθος τους μπορεί να είναι το πολύ  \mu(I_{N}) k αφού είναι ξένα ανά δύο , άρα το ζητούμενο έχει δειχθεί.

edit- συμπλήρωση: μπορούμε να πούμε το ίδιο στην περίπτωση όπου έχουμε ξένα ανά δύο υποσύνολα με θετικό εξωτερικό μέτρο;
Δηλαδή δεν υποθέτω την μετρησιμότητα που χρησιμοποιήθηκε στο τελευταίο βήμα.
Είσαι σωστός και μερακλής!


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 10, 2020 10:52 pm

sot arm έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pm
Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω:  ( X , \mathcal{M}, \mu ) χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου
και  \{A_{i} \} , i \in I οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της  \mathcal{M} θετικού μέτρου, θα δείξω πως το I είναι το πολύ αριθμήσιμο.

Αφού ο  ( X , \mathcal{M}, \mu ) είναι χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου υπάρχουν \{E_{k}\}_{k \in \mathbb{N}} θετικού πεπερασμένου μέτρου
με \displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k} = X } .

Θέτουμε:  I_{n}= \bigcup_{k=1}^{n}E_{k} τότε η I_{n} είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον X . Αν το I είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης N έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των  A_{i} να περιέχονται στο I_{N} .

Έστω τώρα  J_{N,n} = \{ A_{i} , i \in I  : A_{i} \subset I_{N} , \mu(A_{i}) \geq \frac{1}{k} \} . Τότε εμφανώς το σύνολο:  \bigcup_{k=1}^{\infty}J_{N,k} περιέχει όλα τα A_{i} που περιέχονται στο I_{N} , άρα κάποιο εκ των J_{N,k} υπεραριθμήσιμο.

Αυτό είναι άτοπο καθώς το πλήθος τους μπορεί να είναι το πολύ  \mu(I_{N}) k αφού είναι ξένα ανά δύο , άρα το ζητούμενο έχει δειχθεί.

edit- συμπλήρωση: μπορούμε να πούμε το ίδιο στην περίπτωση όπου έχουμε ξένα ανά δύο υποσύνολα με θετικό εξωτερικό μέτρο;
Δηλαδή δεν υποθέτω την μετρησιμότητα που χρησιμοποιήθηκε στο τελευταίο βήμα.
Γεια σου Σωτήρη.
Το παρακάτω δεν ισχύει
sot arm έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pm
Θέτουμε:  I_{n}= \bigcup_{k=1}^{n}E_{k} τότε η I_{n} είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον X . Αν το I είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης N έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των  A_{i} να περιέχονται στο I_{N} .
Μπορεί και κανένα να μην περιέχεται.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 10, 2020 10:57 pm

stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pm
Έστω f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lipshitz με σταθερά M αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και f^{\prime}(x) \leq M σχεδόν παντού για x στο [0,1].
Σημείωση: H f είναι Lipshitz με σταθερά M ανν |f(x)-f(y)| \leq M|x-y| για κάθε x,y.

Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του \mathbb{R} που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
το
Έστω f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lipshitz με σταθερά M αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και f^{\prime}(x) \leq M σχεδόν παντού για x στο [0,1].
δεν ισχύει.
π.χ πάρε f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R},f(x)=-\sqrt{x}
Διορθώνεται βέβαια.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Νοέμ 10, 2020 11:13 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 10:57 pm
stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pm
Έστω f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lipshitz με σταθερά M αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και f^{\prime}(x) \leq M σχεδόν παντού για x στο [0,1].
Σημείωση: H f είναι Lipshitz με σταθερά M ανν |f(x)-f(y)| \leq M|x-y| για κάθε x,y.

Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του \mathbb{R} που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
το
Έστω f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lipshitz με σταθερά M αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και f^{\prime}(x) \leq M σχεδόν παντού για x στο [0,1].
δεν ισχύει.
π.χ πάρε f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R},f(x)=-\sqrt{x}
Διορθώνεται βέβαια.
Νομίζω πως κάνεις λάθος. H -\sqrt{x} δεν είναι Lipshitz.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
sot arm
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τρί Νοέμ 10, 2020 11:16 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 10:52 pm
sot arm έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pm
Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω:  ( X , \mathcal{M}, \mu ) χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου
και  \{A_{i} \} , i \in I οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της  \mathcal{M} θετικού μέτρου, θα δείξω πως το I είναι το πολύ αριθμήσιμο.

Αφού ο  ( X , \mathcal{M}, \mu ) είναι χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου υπάρχουν \{E_{k}\}_{k \in \mathbb{N}} θετικού πεπερασμένου μέτρου
με \displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k} = X } .

Θέτουμε:  I_{n}= \bigcup_{k=1}^{n}E_{k} τότε η I_{n} είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον X . Αν το I είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης N έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των  A_{i} να περιέχονται στο I_{N} .

Έστω τώρα  J_{N,n} = \{ A_{i} , i \in I  : A_{i} \subset I_{N} , \mu(A_{i}) \geq \frac{1}{k} \} . Τότε εμφανώς το σύνολο:  \bigcup_{k=1}^{\infty}J_{N,k} περιέχει όλα τα A_{i} που περιέχονται στο I_{N} , άρα κάποιο εκ των J_{N,k} υπεραριθμήσιμο.

Αυτό είναι άτοπο καθώς το πλήθος τους μπορεί να είναι το πολύ  \mu(I_{N}) k αφού είναι ξένα ανά δύο , άρα το ζητούμενο έχει δειχθεί.

edit- συμπλήρωση: μπορούμε να πούμε το ίδιο στην περίπτωση όπου έχουμε ξένα ανά δύο υποσύνολα με θετικό εξωτερικό μέτρο;
Δηλαδή δεν υποθέτω την μετρησιμότητα που χρησιμοποιήθηκε στο τελευταίο βήμα.
Γεια σου Σωτήρη.
Το παρακάτω δεν ισχύει
sot arm έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pm
Θέτουμε:  I_{n}= \bigcup_{k=1}^{n}E_{k} τότε η I_{n} είναι αύξουσα ακολουθία συνόλων και η αριθμήσιμη άπειρη ένωση τους καλύπτει τον X . Αν το I είναι υπεραριθμήσιμο υπάρχει κάποιος δείκτης N έτσι ώστε υπεραριθμήσιμα το πλήθος εκ των  A_{i} να περιέχονται στο I_{N} .
Μπορεί και κανένα να μην περιέχεται.
Γεια σας , πιθανώς να χάνω κάτι, αλλά δεν το βλέπω.

Έχετε αντιπαράδειγμα;

Edit: έχετε δίκιο , το είδα γιατί το φτιαχνω το κομμάτι και επανέρχομαι.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 10, 2020 11:26 pm

stranger έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 11:13 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 10:57 pm
stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:32 pm
Έστω f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lipshitz με σταθερά M αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και f^{\prime}(x) \leq M σχεδόν παντού για x στο [0,1].
Σημείωση: H f είναι Lipshitz με σταθερά M ανν |f(x)-f(y)| \leq M|x-y| για κάθε x,y.

Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του \mathbb{R} που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue;
το
Έστω f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}.
Δείξτε ότι η f είναι Lipshitz με σταθερά M αν και μόνο αν είναι απόλυτα συνεχής και f^{\prime}(x) \leq M σχεδόν παντού για x στο [0,1].
δεν ισχύει.
π.χ πάρε f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R},f(x)=-\sqrt{x}
Διορθώνεται βέβαια.
Νομίζω πως κάνεις λάθος. H -\sqrt{x} δεν είναι Lipshitz.
Φυσικά και δεν είναι .
Είναι όμως απολύτως συνεχής και f^{\prime}(x) \leq M
για M=1 π.χ


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Νοέμ 10, 2020 11:29 pm

Α τώρα το είδα αυτό που λες. έχω ξεχάσει να βάλω απόλυτο.
Σε ευχαριστώ.
edit. Η σωστή εκφώνηση είναι |f^{\prime}(x)| \leq M και όχι f^{\prime}(x) \leq M.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
sot arm
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τρί Νοέμ 10, 2020 11:39 pm

Επανέρχομαι λοιπόν , μπορούμε να θέσουμε διαφορετικά:

\displaystyle{I_{n} = \{ i \in I : \mu(A_{i} \bigcap  E_{n}) > 0  \}}

Τότε I = \bigcup_{n\in \mathbb{N} }I_{n} αφού για κάθε A_{i} έχουμε  \lim_{n\rightarrow +\infty} \mu(A_{i}\bigcap \bigcup_{k=1}^{n}E_{k}) = \mu(A_{i}}) > 0 από την συνέχεια από κάτω του μέτρου.

Το υπόλοιπο επιχείρημα περνάει ατόφιο αφού θα υπάρχει κάποιο I_{n} με υπεραριθμήσιμο το πλήθος δείκτες i και ορίζουμε τα J_{N,k} όπως πριν με την διαφορά ότι θέλουμε:

\displaystyle{ J_{N,k}= \{ i \in I , \mu(A_{i} \cap I_{N}) \geq \frac{1}{k}\}}


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Νοέμ 11, 2020 2:26 pm

ΛΑΘΟΣ.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Νοέμ 11, 2020 3:04 pm

Υπολογίστε το \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4+1} dx.
Υπόδειξη: Μιγαδική Ανάλυση


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Νοέμ 12, 2020 2:17 pm

stranger έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 5:03 pm
Έστω συνάρτηση f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R} ολοκληρώσιμη(Lebesgue) στο [0,1].
Δείξτε ότι για κάθε \epsilon >0 υπάρχει \delta >0 ώστε για κάθε μετρήσιμο σύνολο E \subset [0,1] με \lambda(E) < \delta ισχύει |\int_{E} f d \lambda| < \epsilon.
Εδώ \lambda είναι το μέτρο Lebesgue.
Εις άτοπον.
Έστω ότι υπάρχει \epsilon >0 ώστε για κάθε \delta>0 υπάρχει μετρήσιμο σύνολο E με \lambda(E)<\delta και \int_{E}|f| d\lambda \geq \epsilon.
Για κάθε n \in \mathbb{N} επιλέγουμε σύνολο E_n μετρήσιμο με \lambda(E_n)< \frac{1}{n^2} και \int_{E_n}|f|d \lambda \geq \epsilon.
Έστω το σύνολο E= \cap_{n=1}^{\infty} \cup_{k=n}^{\infty}E_k.
Τότε το E είναι μετρήσιμο και \lambda(E) \leq \lambda(\cup_{k=n}^{\infty}E_k) για κάθε n \in \mathbb{N}.
Όμως \lambda(\cup_{k=n}^{\infty}E_k) \leq \sum_{k=n}^{\infty} \lambda(E_k) \leq \sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{k^2} \rightarrow 0 όταν n \rightarrow \infty.
Άρα \lambda(E)=0. Επίσης το F \rightarrow \int_{F}|f| d\lambda είναι μέτρο.
Άρα αφού η f είναι ολοκληρώσιμη έχουμε \int_E |f| d\lambda = \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{\cup_{k=n}^{\infty} E_k}|f| d \lambda \geq \limsup_{n \rightarrow \infty}\int_{E_n} |f| d\lambda \geq \epsilon.
Όμως \int_{E} |f| d \lambda = 0 επειδή \lambda(E)=0 το οποίο φέρνει το άτοπο.
Άρα τελικά \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 : \forall E \lambda(E)<\delta \implies |\int_{E}f d \lambda| \leq \int_{E}|f| d \lambda < \epsilon.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12644
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 12, 2020 3:22 pm

stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 3:04 pm
Υπολογίστε το \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4+1} dx.
Υπόδειξη: Μιγαδική Ανάλυση
Δεν είναι η θέση της σε θρεντ Θεωρίας Μέτρου, ούτε η Μιγαδική Ανάλυση (όπως λέει η υπόδειξη) είναι απαραίτητη. Θα δείξω τρόπο χωρίς Μιγαδική διότι με Μιγαδική το εν λόγω παράδειγμα υπάρχει σε όλα τα σχετικά βιβλία, συχνά λυμένο.

Η αλλαγή μεταβλητής y=1/x δείχνει ότι το δοθέν ολοκλήρωμα I ικανοποιεί

\displaystyle{I= \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{x^4+1} dx} . Άρα

\displaystyle{2I = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2+1}{x^4+1} dx= \int_{0}^{\infty} \frac{x^2-\sqrt 2x+ 1}{x^4+1} dx +\sqrt 2 \int_{0}^{\infty} \frac{ x}{x^4+1} dx}

\displaystyle{ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2-\sqrt 2x+ 1 } dx +\sqrt 2 \int_{0}^{\infty} \frac{ x}{x^4+1} dx}

Τώρα το μεν πρώτο είναι άμεσο με τόξο εφαπτομένης και το δεύτερο με την αλλαγή μεταβλητής y=x^2. Τα αφήνω ως άμεσα και γνωστά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες