Σύγκλιση;

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ακολουθία όλων των ρητών στο (0, 1)

. Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right|$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 07, 2020 1:32 pm
Έστω ακολουθία όλων των ρητών στο . Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right|$ .

Καλό.

Αποκλίνει.

Αν συνέκλινε, τότε από κριτήριο Cauchy θα υπήρχε n_o

τέτοιο ώστε για $m,\,k \ge n_o$ θα είχαμε $\sum \limits_{n=k}^{m} \left| r_n - r_{n+1} \right|< \dfrac {1}{10}$ . Ειδικά, για κάθε m> n_o

θα είχαμε

$|r_m-r_{n_0} | \le \sum \limits_{n=n_o}^{m} \left| r_n - r_{n+1} \right|< \dfrac {1}{10}$ ,

που αντιβαίνει στην πυκνότητα των ρητών στο (0,1)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 07, 2020 1:32 pm
Έστω ακολουθία όλων των ρητών στο . Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right|$ .

Αν δεν κάνω λάθος η ποσότητα $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right|$
λέγεται κύμανση της ακολουθίας.
Αναγκαστικά αν μια ακολουθία έχει πεπερασμένη κύμανση συγκλίνει.
Αυτό γιατί :

Αν η σειρα $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right|$ συγκλίνει
τότε θα συγκλίνει και η
$\sum \limits_{n=1}^{\infty} ( r_n - r_{n+1})$
Η τελευταία έχει μερικά αθροίσματα τα $r_1 - r_{n+1}$
που δείχνει ότι η ακολουθία συγκλίνει.

Το μόνο που χρειαζόμαστε λοιπόν είναι ότι οι ρητοί ενος διαστήματος αν γραφουν σαν ακολουθία
τότε η ακολουθία αυτή δεν μπορεί να συγκλίνει.

Σύγκλιση;

Σύγκλιση;

Re: Σύγκλιση;

Re: Σύγκλιση;

Μέλη σε σύνδεση