Σύγκλιση;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σύγκλιση;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 07, 2020 1:32 pm

Έστω r_n ακολουθία όλων των ρητών στο (0, 1). Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right|.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13336
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:27 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 1:32 pm
Έστω r_n ακολουθία όλων των ρητών στο (0, 1). Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right|.
Καλό.

Αποκλίνει.

Αν συνέκλινε, τότε από κριτήριο Cauchy θα υπήρχε n_o τέτοιο ώστε για m,\,k \ge n_o θα είχαμε \sum \limits_{n=k}^{m} \left| r_n - r_{n+1} \right|< \dfrac {1}{10}. Ειδικά, για κάθε m> n_o θα είχαμε

|r_m-r_{n_0} | \le \sum \limits_{n=n_o}^{m} \left| r_n - r_{n+1} \right|< \dfrac {1}{10},

που αντιβαίνει στην πυκνότητα των ρητών στο (0,1)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 07, 2020 4:34 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Νοέμ 07, 2020 1:32 pm
Έστω r_n ακολουθία όλων των ρητών στο (0, 1). Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right|.
Αν δεν κάνω λάθος η ποσότητα \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right|
λέγεται κύμανση της ακολουθίας.
Αναγκαστικά αν μια ακολουθία έχει πεπερασμένη κύμανση συγκλίνει.
Αυτό γιατί :

Αν η σειρα \sum \limits_{n=1}^{\infty} \left| r_n - r_{n+1} \right| συγκλίνει
τότε θα συγκλίνει και η
\sum \limits_{n=1}^{\infty} ( r_n - r_{n+1})
Η τελευταία έχει μερικά αθροίσματα τα  r_1 - r_{n+1}
που δείχνει ότι η ακολουθία συγκλίνει.

Το μόνο που χρειαζόμαστε λοιπόν είναι ότι οι ρητοί ενος διαστήματος αν γραφουν σαν ακολουθία
τότε η ακολουθία αυτή δεν μπορεί να συγκλίνει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης