Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4578
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Νοέμ 01, 2020 7:27 pm

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!} \sum_{m=0}^{n} m^m}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13319
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 01, 2020 10:54 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 01, 2020 7:27 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!} \sum_{m=0}^{n} m^m}}
Απάντηση: e.

Κρατώντας μόνο τον τελευταίο όρο στο άθροισμα έχουμε \displaystyle{ n^n \le  \sum_{m=0}^{n} m^m}\le n\cdot n^n}. Οπότε η δοθείσα παράσταση είναι ανάμεσα στους

\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{n!}n^n}}} και \displaystyle{\sqrt[n]{\frac{1}{n!} \cdot n\cdot n^n}}

Από Stirling το αριστερό είναι \displaystyle{ \sim \sqrt[n]{\left ( \frac {e}{n} \right )^n n^n}}= e} και το δεξί \displaystyle{ \sim \sqrt[n] n \sqrt[n]{\left ( \frac {e}{n} \right )^n n^n}} =\sqrt[n] n e \to e}. Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες