Όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!} \sum_{m=0}^{n} m^m}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 01, 2020 7:27 pm
Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!} \sum_{m=0}^{n} m^m}}$

Απάντηση: e.

Κρατώντας μόνο τον τελευταίο όρο στο άθροισμα έχουμε $\displaystyle{ n^n \le \sum_{m=0}^{n} m^m}\le n\cdot n^n}$ . Οπότε η δοθείσα παράσταση είναι ανάμεσα στους

$\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{n!}n^n}}}$ και $\displaystyle{\sqrt[n]{\frac{1}{n!} \cdot n\cdot n^n}}$

Από Stirling το αριστερό είναι $\displaystyle{ \sim \sqrt[n]{\left ( \frac {e}{n} \right )^n n^n}}= e}$ και το δεξί $\displaystyle{ \sim \sqrt[n] n \sqrt[n]{\left ( \frac {e}{n} \right )^n n^n}} =\sqrt[n] n e \to e}$ . Και λοιπά.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση