Συστολή

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

tractatus
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τετ Αύγ 19, 2020 2:43 am

Συστολή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tractatus » Σάβ Οκτ 31, 2020 3:52 pm

Καλησπέρα , θα μπορούσε κάποιος να μου δώσει μια βοήθεια στην παρακάτω άσκηση.

Έστω T:(C[0,a],\left \| \cdot  \right \|) \rightarrow (C[0,a],\left \| \cdot  \right \|) με T(f(x))=1+\int_{0}^{x}f(t)dt ,\: 0<a<1 να δείξετε οτι T είναι συστολή και συνεχής.

Έχω μερικές ερωτήσεις: (1) τι ακριβώς είναι το C[0,a] ?
(2) αν το C[0,a] είναι συμπαγές τότε η T δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής άρα και συνεχής επίσης αφού θα είναι και συστολή ξέρω από θεώρημα οτι θα είναι και ομοιομ. και συνεχής, άρα υποθέτω οτι θέλει να δείξω ότι είναι συνεχής χωρίς αυτά τα θεωρήματα?
(3) δεν αναφέρει ποια νόρμα είναι αυτή, να φανταστώ εννοεί την \left \| f \right \|_{\infty }=sup\left \{ \left | f(t):0\leq t\leq a \right | \right \} ?


Όσο αναφορά την λύση έκανα κάτι τέτοιο:

\left | T(f)- T(g)\right |=\left | 1+\int_{0}^{x}f(t)dt-1-\int_{0}^{x}g(t)dt\right |\leq \left | \int_{0}^{x}f(t)-g(t)dt\right |\leq \int_{0}^{x}\left | f(t)-g(t)dt \right | προσπαθώντας κάπως να φτάσω στο \leq a\left \|f-g  \right \| σκέφτηκα κάπως θα πρέπει να εμφανίζεται και το a γιατί μου το δίνει σε κατάληλες ανισότητες για να υπάρξει συστολή ,δεν βλέπω όμως πως. Δοκίμασα να χρησιμοποιείσω μερικές κλασικές ανισότητες όπως η cauchy schwarz αλλά δεν βλέπω να κολλάει κάπως γιατί δεν έχω γινόμενο κάπου , ούτε να εμφανίσω εύκολα μπορώ.

Ευχαριστώ.



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Συστολή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Οκτ 31, 2020 4:48 pm

Γεια χαρά. Το C(\left[0,a\right]) είναι ο γραμμικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων f:\left[0,a\right]\to \mathbb{R}. Η νὀρμα που γράφεις είναι η σωστή. Για να αποδείξεις ότι η T είναι συστολή, πρέπει να αποδείξεις ότι d(T(f),T(g))=||T(f)-T(g)||_{\infty}\leq ||f-g||_{\infty}=d(f,g)

Στο σημείο που έχεις γράψει |T(f)(x)-T(g)(x)|\leq \int_{0}^{x}|f(t)-g(t)|dt σκέψου τι σχέση έχει το |f(t)-g(t)| με το ||f-g||_{\infty} και θα το βρεις.

Το γεγονός ότι η T είναι συνεχής προκύπτει από τη σχέση d(T(f),T(g))\leq d(f,g) για κάθε f\,,g\in C(\left[0,a\right])


Παπαπέτρος Ευάγγελος
tractatus
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τετ Αύγ 19, 2020 2:43 am

Re: Συστολή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tractatus » Σάβ Οκτ 31, 2020 5:01 pm

ευχαριστώ για την απάντηση ,
η νόρμα είναι το sup αρα θα είναι πάντα μεγαλύτερο απο το απόλυτο ετσι? δηλαδή \left | f(t)-g(t) \right |\leq \left \| f-g \right \|_{\infty } αυτό το γνώριζα και πρίν αλλά πως θα το συνδέσω με το \int_{0}^{x}\left | f(t)-g(t)dt \right | στο οποιο εχω καταλήξει?
τελευταία επεξεργασία από tractatus σε Σάβ Οκτ 31, 2020 5:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Συστολή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Οκτ 31, 2020 5:04 pm

Ισχύει, \displaystyle{\int_{0}^{x}|f(t)-g(t)|dt\leq \int_{0}^{x}||f-g||_{\infty}dt=x\,||f-g||_{\infty}\leq a\,||f-g||_{\infty}<||f-g||_{\infty}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
tractatus
Δημοσιεύσεις: 36
Εγγραφή: Τετ Αύγ 19, 2020 2:43 am

Re: Συστολή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tractatus » Σάβ Οκτ 31, 2020 5:20 pm

α κατάλαβα ωραία απλά ολοκληρώνουμε την ανισότητα μια απορία μόνο γιατι το ολοκλήρωμα της νόρμας ισούτε με αυτο x\left \| f-g \right \| θεωρούμε το \left \| f-g \right \| σταθερό ως προς t ? επειδή η νόρμα νόμιζα είναι μεταβλητή δηλαδή \left \| f(t)-g(t) \right \| απλά επειδή το sup είναι σταθερός αριθμός μάλλον ?


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13336
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συστολή

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Οκτ 31, 2020 5:22 pm

tractatus έγραψε:
Σάβ Οκτ 31, 2020 5:01 pm
... δηλαδή \left | f(t)-g(t) \right |\leq \left \| f-g \right \|_{\infty } αυτό το γνώριζα ...
Εξ ορισμού.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Mihalis_Lambrou, xr.tsif και 2 επισκέπτες