Σύγκλιση σειράς

Tolaso J Kos · #1

Για $v =\langle x_1, x_2, \dots, x_n \rangle \in \mathbb{R}^n$ ορίζουμε $\left \| v \right \|_p = \left ( \sum \limits_{i=1}^{n} \left | x_i \right |^p \right )^{1/p}$ και $\left \| v \right \|_{\infty} = \max \limits_{1 \leq i \leq n} \left | x_i \right |$ . Για ποια

συγκλίνει η σειρά $\displaystyle{\sum_{p=1}^{\infty} \left ( \left \| v \right \|_p - \left \| v \right \|_{\infty} \right )}$ ;

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 28, 2020 9:14 am
Για $v =\langle x_1, x_2, \dots, x_n \rangle \in \mathbb{R}^n$ ορίζουμε $\left \| v \right \|_p = \left ( \sum \limits_{i=1}^{n} \left | x_i \right |^p \right )^{1/p}$ και $\left \| v \right \|_{\infty} = \max \limits_{1 \leq i \leq n} \left | x_i \right |$ . Για ποια συγκλίνει η σειρά $\displaystyle{\sum_{p=1}^{\infty} \left ( \left \| v \right \|_p - \left \| v \right \|_{\infty} \right )}$ ;

.
Για

, συγκλίνει, οπότε ας δούμε τι γίνεται αν ||v||>0

.

Επειδή το $||v||_{\infty}$ είναι κάποιος από τους όρους $|x_1|, |x_2|, \dots,| x_n|\,(*)$ , είναι $\left \| v \right \| _p - \left \| v \right \|_{\infty}\ge 0$ (άμεσο).

Θα δείξουμε ότι η σειρά α) συγκλίνει αν κάποιος από τους όρους (*)

είναι γνήσια μεγαλύτερος από τους άλλους (δηλαδή το $||v||_{\infty}$ πιάνεται ακριβώς μία φορά) και β) αποκλίνει αλλιώς (δηλαδή αν το $||v||_{\infty}$ πιάνεται δύο ή περισσότερες φορές).

α) Στην πρώτη περίπτωση χωρίς βλάβη $||v||_{\infty} = |x_1|> |x_k|$ για k=2,...,n

. Επίσης χωρίς βλάβη |x_k|>0

για

(αλλιώς όσα είναι

τα διώχνουμε μια και δεν συνεισφέρουν στο άθροισμα). Άρα υπάρχουν d_2,...,d_n>0

τέτοια ώστε για k=2,...,n

είναι

$\displaystyle{ \dfrac {|x_k|}{||v||_{\infty} }= \dfrac {|x_k|}{|x_1|}= \dfrac {1}{1+d_k}}$ οπότε και

$\displaystyle{ \dfrac {|x_k|^p}{||v||_{\infty} ^p}=\dfrac {1}{(1+d_k)^p} \le \dfrac {1}{1+pd_k}\le \dfrac {1}{pd_k}}$ , οπότε

$\displaystyle{ \left \| v \right \| _p - \left \| v \right \|_{\infty}= \left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1+\sum _{k=2}^n \dfrac {|x_k|^p}{||v||_{\infty} ^p} \right )^{1/p} - \left \| v \right \|_{\infty} \le \left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1+\sum _{k=2}^n \dfrac {1}{pd_k\right )^{1/p} - \left \| v \right \|_{\infty} = }$

$\displaystyle{ = \left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1+ \dfrac {A}{p}\right )^{1/p} - \left \| v \right \|_{\infty} = \left \| v \right \|_{\infty} e^ {\frac {1}{p} \ln \left ( 1+ \dfrac {A}{p}\right ) }- \left \| v \right \|_{\infty}= \left \| v \right \|_{\infty} e^ { \frac {A}{p^2} +\big O (1/p^3)\right ) } - \left \| v \right \|_{\infty}= }$

$\displaystyle{ =\left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1 + \dfrac {A}{p^2} +\big O (1/p^3)\right ) \right ) } - \left \| v \right \|_{\infty} =\dfrac {B}{p^2} +\big O (1/p^3) }$

και άρα η αρχική σειρά συγκλίνει.

β) Αφού το $\left \| v \right \|_{\infty}$ πιάνεται τουλάχιστον δύο φορές, έχουμε

$\displaystyle{ \left \| v \right \| _p - \left \| v \right \|_{\infty}\ge \left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1^p+1^p \right )^{1/p} - \left \| v \right \|_{\infty}=\left \| v \right \|_{\infty}e^{\frac {1}{p} \ln 2} - \left \| v \right \|_{\infty} =\left \| v \right \|_{\infty}\left ( 1 + \dfrac {\ln 2}{p} + \big O (1/p^2) \right ) - \left \| v \right \|_{\infty} = }$

$\displaystyle{= \dfrac {B}{p} + \big O (1/p^2)}$

και άρα η αρχική σειρά αποκλίνει.

Σύγκλιση σειράς

Σύγκλιση σειράς

Re: Σύγκλιση σειράς

Μέλη σε σύνδεση