mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 25, 2020 10:11 pm**

Να εξετασθεί αν η παρακάτω ακολουθία που ορίζεται αναδρομικά, είναι συγκλίνουσα και αν ναι, να βρεθεί το όριό της:

$\displaystyle{a_1=4, \ \ \ a_{n+1}=\frac{5a_n-6}{a_n-2} \ \ \forall n\geq 2.}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 25, 2020 10:51 pm**

socrates έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 25, 2020 10:11 pm
Να εξετασθεί αν η παρακάτω ακολουθία που ορίζεται αναδρομικά, είναι συγκλίνουσα και αν ναι, να βρεθεί το όριό της:

$\displaystyle{a_1=4, \ \ \ a_{n+1}=\frac{5a_n-6}{a_n-2} \ \ \forall n\geq 2.}$

Αφού

και $a_{n+1}=5 + \dfrac{4}{a_n-2}$ εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι για $n\ge 2$ ισχύει a_n>5

. Επίσης, για $n\ge 2$ έπεται ότι

$|a_{n+1}-6| = \left | \dfrac {a_n-6}{a_n-2} \right | \le \dfrac {|a_n-6|}{5-2} =\dfrac {1}{3} |a_n-6|$ και άρα επαγωγικά

$|a_{n+1}-6| = \le \dfrac {1}{3^{n-1}} |a_2-6|$ .

Συνεπώς $a_n\rightarrow 6$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 26, 2020 12:58 am**

Μια άλλη ιδέα
$a_{n+1}=f(a_n)$ Tότε $f(x)=\frac{5x-6}{x-2}$
Tότε $f'(x)=\frac{-4}{(x-2)^2}$
$|f'(x)|=\frac{4}{(x-2)^2}$ Τώρα ισοδύναμα σε αλήθεια $\frac{4}{(x-2)^2} < 1 \iff x(x-4) >0$
Με επαγωγή απο την σχέση $a_{n+1}= 5+ \frac{4}{a_n -2 }$ βλέπουμε οτι a_n >5

άρα απο θεώρημα σταθερού σημείου banach αφού |f'(x)|<1

(συστολή Lipchitz )υπάρχει το όριο της ακολουθίας $a_n \rightarrow l$
Περνώντας τα όρια στην σχέση παίρνουμε l=1

ή

,αφού

τότε

*Ευχαριστώ τον κύριο Σταύρο για την παρατήρηση ! : $|f'(x)|=\frac{4}{(x-2)^2}=\frac{4}{x(x-4)+4}$
x-4>1 , x>5

$\Rightarrow |f'(x)\ \leq \frac{4}{9} <1$
όσο για το να ειναι διαστημα $a_n \geq 4$ $( n\geq 1 )$ και ειναι και ανω φραγμένη απο τον τύπο $a_{n+1}= 5+ \frac{4}{a_n -2 }$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 26, 2020 1:11 am**

ChrP έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 26, 2020 12:58 am
Μια άλλη ιδέα
$a_{n+1}=f(a_n)$ Tότε $f(x)=\frac{5x-6}{x-2}$
Tότε $f'(x)=\frac{-4}{(x-2)^2}$
$|f'(x)|=\frac{4}{(x-2)^2}$ Τώρα ισοδύναμα σε αλήθεια $\frac{4}{(x-2)^2} < 1 \iff x(x-4) >0$
Με επαγωγή απο την σχέση $a_{n+1}= 5+ \frac{4}{a_n -2 }$ βλέπουμε οτι
άρα απο θεώρημα σταθερού σημείου banach αφού (συστολή Lipchitz )υπάρχει το όριο της ακολουθίας $a_n \rightarrow l$
Περνώντας τα όρια στην σχέση παίρνουμε ή ,αφού τότε

Στο θεώρημα σταθερού σημείου Βanach
πρέπει $f:A\rightarrow A$
Όπου

πλήρης μετρικός χώρος (εδω κλειστό διάστημα)
και $|f'(x)|\leq L<1$
Μπορείς να το διορθώσεις.

mathematica.gr

Ακολουθία

Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Re: Ακολουθία

Re: Ακολουθία