Ανισότητα με νόρμες.

sokratis lyras · #1

Καλησπέρα,
Ίσως είναι προφανές αλλά το κεφάλι μου έχει πραγματικά διαλυθεί από τον προγραμματισμό.
Ισχύει το κάτωθι ?

$||W_1||_p > ||W_2||_p \implies ||W_1x-W_2y||_p\le ||W_1||_p ||x-y||_p, \forall x, y \in \mathbb{R}^n$ όπου $W_1, W_2 \in \mathbb{R}^{n\times n}$ .

#2

sokratis lyras έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 11, 2020 3:20 pm
Καλησπέρα,
Ίσως είναι προφανές αλλά το κεφάλι μου έχει πραγματικά διαλυθεί από τον προγραμματισμό.
Ισχύει το κάτωθι ?

$||W_1||_p > ||W_2||_p \implies ||W_1x-W_2y||_p\le ||W_1||_p ||x-y||_p, \forall x, y \in \mathbb{R}^n$ όπου $W_1, W_2 \in \mathbb{R}^{n\times n}$ .

Αν και δεν μας λες τι ακριβώς είναι τα εν λόγω σύμβολα, δεν φαίνεται να ισχύει για προφανείς λόγους. Π.χ. αν $x=y\ne 0$ και W_1=2I,W_2=I

, τότε το αριστερό μέλος είναι ||x||_p>0

, ενώ το δεξί

.

Χάνω κάτι;

sokratis lyras · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 11, 2020 3:37 pm

sokratis lyras έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 11, 2020 3:20 pm
Καλησπέρα,
Ίσως είναι προφανές αλλά το κεφάλι μου έχει πραγματικά διαλυθεί από τον προγραμματισμό.
Ισχύει το κάτωθι ?

$||W_1||_p > ||W_2||_p \implies ||W_1x-W_2y||_p\le ||W_1||_p ||x-y||_p, \forall x, y \in \mathbb{R}^n$ όπου $W_1, W_2 \in \mathbb{R}^{n\times n}$ .
Αν και δεν μας λες τι ακριβώς είναι τα εν λόγω σύμβολα, δεν φαίνεται να ισχύει για προφανείς λόγους. Π.χ. αν $x=y\ne 0$ και , τότε το αριστερό μέλος είναι , ενώ το δεξί .

Χάνω κάτι;

Συγγνώμη, ξέχασα να αναφέρω τον περιορισμό $x\ne y$ .
Η ||.||_p

ειναι η συνήθης p-norm του $\mathbb{R}^d$ και στο σημείο ||W_1||_p

εννοώ την νόρμα πινάκων που ορίζει η ||.||_p

.

#4

sokratis lyras έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 11, 2020 3:44 pm

Συγγνώμη, ξέχασα να αναφέρω τον περιορισμό $x\ne y$ .

Δεν το σώζει αυτό. Πάρε π.χ. $x\ne y$ αλλά

πολύ κοντά στο

. Ακριβέστερα, για $x\ne 0$ πάρε ακολουθία $y_n\to x$ . Τότε το αριστερό μέλος για τα W_1,W_2

που έγραψα τείνει στο $\displaystyle{||x||_p\ne 0}$ (πριν ήταν ακριβώς ίσο με το ||x||

) ενώ το δεξί τείνει το

(πριν ήταν ακριβώς ίσο με

). Πάλι αντίφαση.

sokratis lyras · #5

Ναι όντως.
Η συνεπαγωγή αυτή προέκυψε από το εξής θέμα.
Στο $\mathbb{R}$ , μία piecewise linear συνάρτηση είναι Lipschitz με σταθερά Lipschitz τη μεγαλύτερη, κατά απόλυτη τιμή, κλίση που έχει σε κάποιο κομμάτι της και ήθελα να γενικεύσω το αποτέλεσμα αυτό στις πολλές διαστάσεις, όπου piecewise linear στο [a, b]^d

θεωρώ κάθε συνάρτηση ορισμένη στο [a, b]^d

που απαρτίζεται από πεπερασμένα τω πλήθος 'κομμάτια' της μορφής $W_ix+b_i, \x \in A_i$ , όπου τα A_i

αποτελούν μια πεπερασμένη διαμέριση του [a, b]^d

.
Και έτσι προέκυψε η ερώτηση μου, μήπως δηλαδή αυτές οι piecewise linear είναι Lipschitz με σταθερά:
$\underset{i}{\max}\{||W_i||\}$ .
Υπάρχει κάποια ιδέα μήπως πάνω σε αυτό?

#6

sokratis lyras έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 11, 2020 3:20 pm
Καλησπέρα,
Ίσως είναι προφανές αλλά το κεφάλι μου έχει πραγματικά διαλυθεί από τον προγραμματισμό.
Ισχύει το κάτωθι ?

$||W_1||_p > ||W_2||_p \implies ||W_1x-W_2y||_p\le ||W_1||_p ||x-y||_p, \forall x, y \in \mathbb{R}^n$ όπου $W_1, W_2 \in \mathbb{R}^{n\times n}$ .

Δεν ξέρω να απαντήσω στο τελευταίο σου ποστ (κυρίως δεν καταλαβαίνω τι ρωτάς) αλλά ας δούμε και άλλον έναν λόγο
που δείχνει ότι κάτι δεν πάει καθόλου καλά με την παραπάνω ανισότητα. Με άλλα λόγια, απέχει πολύ από γενίκευση.

Πάρε W_2=0

. Τότε το ζητούμενο γίνεται

$\displaystyle{ ||W_1x||_p\le ||W_1||_p ||x-y||_p, \forall x, y \in \mathbb{R}^n}$

Με άλλα λόγια έχουμε μία ανισότητα που δεν έχει

στο αριστερό μέλος, πλην όμως μπορούμε να βάλουμε οποιοδήποτε

στο δεξί. Εεεε, δεν γίνεται! Μάλιστα, το μόνο W_1

για το οποίο ισχύει η ανισότητα είναι το W_1=0

sokratis lyras · #7

Στην ουσία ρωτάω αυτό: https://math.stackexchange.com/questio ... -in-bbb-rd.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

sokratis lyras έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 12, 2020 2:06 pm
Στην ουσία ρωτάω αυτό: https://math.stackexchange.com/questio ... -in-bbb-rd.

Δεν ξέρω αν χάνω κάτι αλλά νομίζω ότι είναι απλό.
Συμβολίζω με f_i

τους περιορισμούς της

Εστω

Θεωρούμε την ευθεία που περνάει από αυτά και τέμνει τα διάφορα A_i

στα

Εχουμε ότι τα $x_i,x_{i+1}$ είναι στο ίδιο A_j

Τότε
$|f(y)-f(x)|\leq |f(x_n)-f(x_{n-1})|+......+|f(x_1)-f(x_0)|\leq c_n|x_n-x_{n-1}|+.....+c_1|x_1-x_0|$ $\leq c(|x_n-x_{n-1})|+....+|x_1-x_0|)\leq c|x-y|$
Η σταθερά

είναι το μέγιστο από τις σταθερές κάθε f_i

.

sokratis lyras · #9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 12, 2020 10:58 pm

sokratis lyras έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 12, 2020 2:06 pm
Στην ουσία ρωτάω αυτό: https://math.stackexchange.com/questio ... -in-bbb-rd.
Δεν ξέρω αν χάνω κάτι αλλά νομίζω ότι είναι απλό.
Συμβολίζω με τους περιορισμούς της
Εστω
Θεωρούμε την ευθεία που περνάει από αυτά και τέμνει τα διάφορα στα

Εχουμε ότι τα $x_i,x_{i+1}$ είναι στο ίδιο
Τότε
$|f(y)-f(x)|\leq |f(x_n)-f(x_{n-1})|+......+|f(x_1)-f(x_0)|\leq c_n|x_n-x_{n-1}|+.....+c_1|x_1-x_0|$ $\leq c(|x_n-x_{n-1})|+....+|x_1-x_0|)\leq c|x-y|$
Η σταθερά είναι το μέγιστο από τις σταθερές κάθε .

Δεν καταλαβαίνω γιατί ισχύει η τελευταία ανισότητα.
Επίσης η ερώτηση είναι για τον $\mathbb{R}^d$ .

sokratis lyras · #10

Βλακείες λέω, μια χαρά.
Ευχαριστώ.

Ανισότητα με νόρμες.

Ανισότητα με νόρμες.

Re: Ανισότητα με νόρμες.

Re: Ανισότητα με νόρμες.

Re: Ανισότητα με νόρμες.

Re: Ανισότητα με νόρμες.

Re: Ανισότητα με νόρμες.

Re: Ανισότητα με νόρμες.

Re: Ανισότητα με νόρμες.

Re: Ανισότητα με νόρμες.

Re: Ανισότητα με νόρμες.

Μέλη σε σύνδεση