Ανάλυση

TrItOs · #1

Έστω $\big( a_{n} \big)\limits_{n \in \mathbb{N}}$ η ακολουθία θετικών ριζών της εξίσωσης $\tan{x} = x$ . Δείξτε ότι
$\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{a_{n}^{2}} = \frac{1}{10} }$

#2

TrItOs έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 03, 2020 4:08 pm
Έστω $\big( a_{n} \big)\limits_{n \in \mathbb{N}}$ η ακολουθία θετικών ριζών της εξίσωσης $\tan{x} = x$ . Δείξτε ότι
$\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{a_{n}^{2}} = \frac{1}{10} }$

Για να κλείνει.

Πρόκειται για δύσκολο αλλά γνωστό θέμα, οπότε θα αποφύγω τις λεπτομέρειες. Πάντως μία απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι ισχύει

$\tan x =x$ αν και μόνον αν $\displaystyle{ \dfrac {\sin x} {x} −\cos x=0}$ , οπότε

$\displaystyle{\left (1 - \dfrac {x^2}{3!}+ \dfrac {x^4}{5!}-...\right )-\left ( \dfrac {x^2}{2!}-\dfrac {x^4}{4!}+...\right )=0}$ , δηλαδή $\displaystyle{ \dfrac {x^2}{3}- \dfrac {x^4}{30}+ ...=0}$

Aπό το Θεώρημα παραγοντοποίησης Hadamard (Hadamard Factorization Theorem) το αριστερό μέλος γράφεται

$\displaystyle{\dfrac {x^2}{3} \prod \left ( 1- \dfrac {x^2}{a_n^2}\right ) }$ δηλαδή

$\displaystyle{ \dfrac {x^2}{3}\left ( 1- \left ( \sum \dfrac {1}{a_n^2}\right )x^2+ ... \right) }$

Συγκρίνοντας τους συντελεστές του x^4

, έπεται $\displaystyle{ \sum \dfrac {1}{a_n^2}= \dfrac {1}{10} }$

Είμαι βέβαιος ότι αν ψάξεις στο Google την φράση "roots of tan x = x" θα σε βγάλει σε πλήρεις αποδείξεις (δεν το έκανα αλλά δεν αμφιβάλλω ότι η βεβαιότητά μου ... αληθεύει).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 05, 2020 11:39 am

TrItOs έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 03, 2020 4:08 pm
Έστω $\big( a_{n} \big)\limits_{n \in \mathbb{N}}$ η ακολουθία θετικών ριζών της εξίσωσης $\tan{x} = x$ . Δείξτε ότι
$\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{a_{n}^{2}} = \frac{1}{10} }$
Είμαι βέβαιος ότι αν ψάξεις στο Google την φράση "roots of tan x = x" θα σε βγάλει σε πλήρεις αποδείξεις (δεν το έκανα αλλά δεν αμφιβάλλω ότι η βεβαιότητά μου ... αληθεύει).

https://math.stackexchange.com/question ... e-n-textth

Ανάλυση

Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση