Ανάλυση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Ανάλυση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Δευ Αύγ 03, 2020 4:08 pm

Έστω  \big( a_{n} \big)\limits_{n \in \mathbb{N}} η ακολουθία θετικών ριζών της εξίσωσης  \tan{x} = x . Δείξτε ότι
\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{a_{n}^{2}} = \frac{1}{10} }



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12415
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανάλυση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Αύγ 05, 2020 11:39 am

TrItOs έγραψε:
Δευ Αύγ 03, 2020 4:08 pm
Έστω  \big( a_{n} \big)\limits_{n \in \mathbb{N}} η ακολουθία θετικών ριζών της εξίσωσης  \tan{x} = x . Δείξτε ότι
\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{a_{n}^{2}} = \frac{1}{10} }
Για να κλείνει.

Πρόκειται για δύσκολο αλλά γνωστό θέμα, οπότε θα αποφύγω τις λεπτομέρειες. Πάντως μία απόδειξη βασίζεται στο γεγονός ότι ισχύει

\tan x =x αν και μόνον αν \displaystyle{ \dfrac {\sin x} {x} −\cos x=0} , οπότε

\displaystyle{\left (1 -  \dfrac {x^2}{3!}+ \dfrac {x^4}{5!}-...\right )-\left ( \dfrac {x^2}{2!}-\dfrac {x^4}{4!}+...\right )=0} , δηλαδή \displaystyle{  \dfrac {x^2}{3}-  \dfrac {x^4}{30}+ ...=0}

Aπό το Θεώρημα παραγοντοποίησης Hadamard (Hadamard Factorization Theorem) το αριστερό μέλος γράφεται

\displaystyle{\dfrac {x^2}{3} \prod \left ( 1- \dfrac {x^2}{a_n^2}\right ) } δηλαδή

\displaystyle{ \dfrac {x^2}{3}\left ( 1- \left ( \sum \dfrac  {1}{a_n^2}\right )x^2+ ... \right) }

Συγκρίνοντας τους συντελεστές του x^4, έπεται \displaystyle{ \sum  \dfrac {1}{a_n^2}= \dfrac {1}{10} }

Είμαι βέβαιος ότι αν ψάξεις στο Google την φράση "roots of tan x = x" θα σε βγάλει σε πλήρεις αποδείξεις (δεν το έκανα αλλά δεν αμφιβάλλω ότι η βεβαιότητά μου ... αληθεύει).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανάλυση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Αύγ 05, 2020 12:09 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Αύγ 05, 2020 11:39 am
TrItOs έγραψε:
Δευ Αύγ 03, 2020 4:08 pm
Έστω  \big( a_{n} \big)\limits_{n \in \mathbb{N}} η ακολουθία θετικών ριζών της εξίσωσης  \tan{x} = x . Δείξτε ότι
\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{a_{n}^{2}} = \frac{1}{10} }
Είμαι βέβαιος ότι αν ψάξεις στο Google την φράση "roots of tan x = x" θα σε βγάλει σε πλήρεις αποδείξεις (δεν το έκανα αλλά δεν αμφιβάλλω ότι η βεβαιότητά μου ... αληθεύει).

https://math.stackexchange.com/question ... e-n-textth


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης