lagrange υπό συνθήκη

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Sissy
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2013 4:51 pm

lagrange υπό συνθήκη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Sissy » Τρί Ιούλ 28, 2020 7:42 pm

Καλησπέρα σας,θέλω μια βοήθεια στην παρακάτω άσκηση. Έχω βρει τις παραγώγους αλλά όταν πάω να λύσω τις εξισώσεις δεν μπορώ να βρω τα x,y,λ.
f(x,y)=x^{4} + 4x^{2}y^{2} + y^{4} -4x^{3} - 4y^{3}
όταν η f ορίζεται στον κλειστό τόπο D που περικλείεται από τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΑ, ΟΒ και το τόξο
AB= {(x,y)\epsilon \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} =4 , x,y \geq 0}
όπου Ο (0,0) Α(2,0) Β(0,2)

Εγώ βρίσκω τις εξής εξισώσεις:
4x^{3}+8xy^{2}-12x^{2}+2\lambda x=0

4y^{3}+8yx^{2}-12y^{2}+2\lambda y=0


x^{2} + y^{2}= 4


Λύνω τις 2 εξισώσεις ως προς λ και και τις παίρνω ίσες, ώστε να βρω τα x,y .
Αλλά δεν ξέρω αν είναι σωστός ο τρόπος μου.



Λέξεις Κλειδιά:
Summand
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 05, 2019 12:10 am

Re: lagrange υπό συνθήκη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Summand » Τετ Ιούλ 29, 2020 4:14 am

Καλησπέρα σου!

Από αυτό που βλέπω καταλαβαίνω ότι πας να μελετήσεις τα ακρότατα υπό συνθήκη με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange, όμως για να μην κάνουμε εικασίες, θα μπορούσες να μας δώσεις την πλήρη εκφώνηση της άσκησης;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2877
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: lagrange υπό συνθήκη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιούλ 29, 2020 6:50 am

\begin{aligned} 
\left\{\begin{array}{r} 
4x^3+8xy^2-12x^2-2\lambda x = 0\\ 
 4y^3+8x^2y-12y^2-2\lambda y = 0\\ 
 x^2+y^2 = 4 
\end{array}  \right\}\quad&\Rightarrow\quad\left\{\begin{array}{r} 
4(x-y)\big(\underbrace{x^2+y^2}\limits_{=4}-xy-3x-3y-\frac{1}{2}\lambda\big) = 0\\ 
4y^3+8x^2y-12y^2-2\lambda y = 0\\ 
x^2+y^2 = 4 
\end{array}  \right\}\\ 
&\Rightarrow\quad\ldots 
\end{aligned}

Από όπου προκύπτουν οι λύσεις του συστήματος.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Sissy
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2013 4:51 pm

Re: lagrange υπό συνθήκη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Sissy » Τετ Ιούλ 29, 2020 10:49 am

Summand έγραψε:
Τετ Ιούλ 29, 2020 4:14 am
Καλησπέρα σου!

Από αυτό που βλέπω καταλαβαίνω ότι πας να μελετήσεις τα ακρότατα υπό συνθήκη με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange, όμως για να μην κάνουμε εικασίες, θα μπορούσες να μας δώσεις την πλήρη εκφώνηση της άσκησης;
Ναι συγνώμη έχετε δίκιο, παράλειψη μου. Θέλει να βρούμε το μέγιστο και το ελάχιστο από την συνάρτηση που δίνω πιο πάνω.
Απλά έχω μια δυσκολία στην λύση των εξισώσεων, ώστε να μπορέσω μετά να πάρω τα σημεία και να ελέγξω αν είναι μέγιστα ή ελάχιστα.


Sissy
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2013 4:51 pm

Re: lagrange υπό συνθήκη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Sissy » Τετ Ιούλ 29, 2020 11:04 am

grigkost έγραψε:
Τετ Ιούλ 29, 2020 6:50 am
\begin{aligned} 
\left\{\begin{array}{r} 
4x^3+8xy^2-12x^2-2\lambda x = 0\\ 
 4y^3+8x^2y-12y^2-2\lambda y = 0\\ 
 x^2+y^2 = 4 
\end{array}  \right\}\quad&\Rightarrow\quad\left\{\begin{array}{r} 
4(x-y)\big(\underbrace{x^2+y^2}\limits_{=4}-xy-3x-3y-\frac{1}{2}\lambda\big) = 0\\ 
4y^3+8x^2y-12y^2-2\lambda y = 0\\ 
x^2+y^2 = 4 
\end{array}  \right\}\\ 
&\Rightarrow\quad\ldots 
\end{aligned}

Από όπου προκύπτουν οι λύσεις του συστήματος.
Καλημέρα, έτσι το έκανα και εγώ ... και πήρα μετά 2 περιπτώσεις.
\chi =\psi
όπου το έκανα αντικατάσταση στις άλλες και βρήκα \chi =\sqrt{2} , \psi =\sqrt{2}, \lambda =12-6\sqrt{2}
και στην δεύτερη περίπτωση
4-\chi \psi -3\chi -3\psi -\frac{1}{2}\lambda =0
την λύνω ως προς λ ώστε να το αντικαταστήσω στην άλλη εξίσωση, και εκεί δεν μπορώ να συνεχίσω ....
Κάπου μάλλον μπερδεύομαι.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: lagrange υπό συνθήκη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιούλ 29, 2020 11:26 am

Sissy έγραψε:
Τετ Ιούλ 29, 2020 11:04 am
grigkost έγραψε:
Τετ Ιούλ 29, 2020 6:50 am
\begin{aligned} 
\left\{\begin{array}{r} 
4x^3+8xy^2-12x^2-2\lambda x = 0\\ 
 4y^3+8x^2y-12y^2-2\lambda y = 0\\ 
 x^2+y^2 = 4 
\end{array}  \right\}\quad&\Rightarrow\quad\left\{\begin{array}{r} 
4(x-y)\big(\underbrace{x^2+y^2}\limits_{=4}-xy-3x-3y-\frac{1}{2}\lambda\big) = 0\\ 
4y^3+8x^2y-12y^2-2\lambda y = 0\\ 
x^2+y^2 = 4 
\end{array}  \right\}\\ 
&\Rightarrow\quad\ldots 
\end{aligned}

Από όπου προκύπτουν οι λύσεις του συστήματος.
Καλημέρα, έτσι το έκανα και εγώ ... και πήρα μετά 2 περιπτώσεις.
\chi =\psi
όπου το έκανα αντικατάσταση στις άλλες και βρήκα \chi =\sqrt{2} , \psi =\sqrt{2}, \lambda =12-6\sqrt{2}
και στην δεύτερη περίπτωση
4-\chi \psi -3\chi -3\psi -\frac{1}{2}\lambda =0
την λύνω ως προς λ ώστε να το αντικαταστήσω στην άλλη εξίσωση, και εκεί δεν μπορώ να συνεχίσω ....
Κάπου μάλλον μπερδεύομαι.
Θεώρησε το αρχικό σύστημα

\begin{aligned} 
\left\{\begin{array}{r} 
4x^3+8xy^2-12x^2-2\lambda x = 0\\ 
 4y^3+8x^2y-12y^2-2\lambda y = 0\\ 
 x^2+y^2 = 4 
\end{array}  \right\} 
\end{aligned}

και μελέτα το για x \neq y και x,y \neq 0. Δηλαδή διαίρεσε με x και y αντίστοιχα τις πρώτες δυο εξισώσεις για να απλοποιθούν λίγο. Ύστερα σχημάτισε δυο νέες εξισώσεις με προσθαφαίρεση αυτών των δυο. Προκύπτει ένα νέο σύστημα, το οποίο νομίζω μπορεί να λύθεί...


Sissy
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Τετ Μάιος 29, 2013 4:51 pm

Re: lagrange υπό συνθήκη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Sissy » Πέμ Ιούλ 30, 2020 10:14 am

Σας ευχαριστώ όλους για την βοήθεια , το βρήκα!!!
:clap: :clap:


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3110
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: lagrange υπό συνθήκη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 31, 2020 12:56 am

Η πιο εύκολη λύση στο παραπάνω πρόβλημα είναι η εξής:
Θέτουμε
x=2\cos \theta ,y=2\sin \theta ,0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}

η συνάρτηση γίνεται

16+2^5((\cos \theta )^{2}(\sin \theta )^{2})-(\cos \theta )^{3}-(\sin \theta )^{3})

εύκολα με παραγώγους βλέπουμε ότι έχει ακρότατα στα

\theta =\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4},0
κλπ


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες