Σελίδα 1 από 1

Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 14, 2020 9:58 pm
από Tolaso J Kos
Έστω a \in \mathbb{R}.
  1. Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση \displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}} σε σειρά Fourier συνημιτόνων.
  2. Να δειχθεί η ταυτότητα:

    \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} = \frac{\left ( 2 \cos \frac{x}{2} \right )^{2a}}{\Gamma\left ( 2a+1 \right )}}
    όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler.

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 14, 2020 11:07 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 9:58 pm
Έστω a \in \mathbb{R}.
  1. Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση \displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}} σε σειρά Fourier συνημιτόνων.
  2. Να δειχθεί η ταυτότητα:

    \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} = \frac{\left ( 2 \cos \frac{x}{2} \right )^{2a}}{\Gamma\left ( 2a+1 \right )}}
    όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler.
Τόλη γράψε σωστά την εκφώνηση.
Πχ τι είναι το a ;
Για ποία x ισχύει η ταυτότητα.

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
από Tolaso J Kos
Μα Σταύρο στο ορίζω το a. Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα x \in \mathbb{R}.

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 14, 2020 11:49 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
Μα Σταύρο στο ορίζω το a. Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα x \in \mathbb{R}.
Δεν το είδα.
Και ο λόγος είναι γιατί τότε πρέπει να περιορίσεις τα x
Η ταυτότητα αποκλείεται να ισχύει στο \mathbb{R}.
Πρόσεξε το (-1)^{\sqrt{2}}
δεν οριζεται στο \mathbb{R} και στο \mathbb{C}
δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 15, 2020 8:51 am
από Mihalis_Lambrou
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 9:58 pm
Έστω a \in \mathbb{R}.
  1. Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση \displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}} σε σειρά Fourier συνημιτόνων.
  2. Να δειχθεί η ταυτότητα:

    \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} = \frac{\left ( 2 \cos \frac{x}{2} \right )^{2a}}{\Gamma\left ( 2a+1 \right )}}
    όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler.
Σίγουρα;

Πέρα από το σχόλιο του Σταύρου, έχω και άλλες απορίες: Μήπως το \cos nx πρέπει να γίνει \cos ^nx (αλλά τότε δεν είναι σειρά Fourier).

Επίσης, σίγουρα το άθροισμα πάει από "μείον άπειρο στο άπειρο" και όχι από το "μηδέν στο άπειρο"; Έχω δύο λόγους να το νομίζω αυτό. Ο πρώτος είναι ότι αν πούμε a_N τον τυπικό συντελεστή τότε

a_{-N} = \dfrac{\cos (-Nx)}{\Gamma\left ( a-N+1 \right ) \Gamma \left ( a+N+1 \right )} = \dfrac{-\cos (Nx)}{\Gamma\left ( a+N+1 \right ) \Gamma \left ( a-N+1 \right )} = -a_N

οπότε φεύγουν κατά ζεύγη και μένει μόνο ο όρος a_0.

Άλλος λόγος είναι ότι στο πρώτο ερώτημα έχουμε, εκεί που έχει νόημα η παράσταση,

\displaystyle{ \left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}}= 2^a \left(2\cos ^2\frac{x}{2}\right)^{a}= 2^a \left(1+ \cos x\right)^{a} = 2^a \sum _{n=0}^{\infty} \dfrac { \Gamma (a+1)}{\Gamma (n+1) \Gamma (a-n+1)} \cos ^nx  }

H παράσταση αυτή οδηγεί σε ταυτότητα που μοιάζει με την ζητούμενη αλλά δεν είναι ακριβώς ίδια (οι συντελεστές έχουν μικροδιαφορές και το \cos είναι σε δυνάμεις).

Μήπως δεν βλέπω κάτι γιατί... δεν ήπια ακόμη καφέ;

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 15, 2020 10:17 am
από Tolaso J Kos
Η ταυτότητα έχει ελεγχθεί με το W|A για διάφορες τιμές των x και a. Είναι:

\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(a+n+1)\Gamma(a-n+1)}=\frac{1}{(a+n)!(a-n)!}=\frac{1}{(2a)!}\binom{2a}{a+n}}
Οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )}   &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\left ( a+n \right )! \left ( a-n \right )!} \\  
 &=\frac{1}{\left (2a  \right )!}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} \cos nx   \\  
 &=\frac{1}{\left (2a  \right )!}\mathfrak{Re} \left ( \sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} e^{inx} \right )  
\end{aligned}}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:49 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
Μα Σταύρο στο ορίζω το a. Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα x \in \mathbb{R}.
Δεν το είδα.
Και ο λόγος είναι γιατί τότε πρέπει να περιορίσεις τα x
Η ταυτότητα αποκλείεται να ισχύει στο \mathbb{R}.
Πρόσεξε το (-1)^{\sqrt{2}}
δεν οριζεται στο \mathbb{R} και στο \mathbb{C}
δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Ας βάλουμε για τα a, x που ορίζεται.

Extended Binomial Theorem έγραψε:\displaystyle{\left( 1 + z \right)^r = \sum_{k \mathop \in \mathbb{Z}} \binom {r}{\alpha + k} z^{\alpha + k}}

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 17, 2020 9:44 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 15, 2020 10:17 am
Η ταυτότητα έχει ελεγχθεί με το W|A για διάφορες τιμές των x και a. Είναι:

\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(a+n+1)\Gamma(a-n+1)}=\frac{1}{(a+n)!(a-n)!}=\frac{1}{(2a)!}\binom{2a}{a+n}}
Οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )}   &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\left ( a+n \right )! \left ( a-n \right )!} \\  
 &=\frac{1}{\left (2a  \right )!}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} \cos nx   \\  
 &=\frac{1}{\left (2a  \right )!}\mathfrak{Re} \left ( \sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} e^{inx} \right )  
\end{aligned}}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:49 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
Μα Σταύρο στο ορίζω το a. Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα x \in \mathbb{R}.
Δεν το είδα.
Και ο λόγος είναι γιατί τότε πρέπει να περιορίσεις τα x
Η ταυτότητα αποκλείεται να ισχύει στο \mathbb{R}.
Πρόσεξε το (-1)^{\sqrt{2}}
δεν οριζεται στο \mathbb{R} και στο \mathbb{C}
δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Ας βάλουμε για τα a, x που ορίζεται.

Extended Binomial Theorem έγραψε:\displaystyle{\left( 1 + z \right)^r = \sum_{k \mathop \in \mathbb{Z}} \binom {r}{\alpha + k} z^{\alpha + k}}
Καλημέρα από την Χαλκίδα.
Τουλάχιστον για μένα υπάρχουν πολλά προβλήματα.
Μερικά από αυτά είναι
Extended Binomial Theorem έγραψε:\displaystyle{\left( 1 + z \right)^r = \sum_{k \mathop \in \mathbb{Z}} \binom {r}{\alpha + k} z^{\alpha + k}}
Από ότι είδα στην παραπομπή ο τύπος ισχύει για μιγαδικά a,r
Αλλά είναι γνωστό ότι δύναμη μιγαδικού σε μιγαδικό γενικά δεν ορίζεται μονοσήμαντα.
Αυτό σημαίνει ότι για να ισχύει ο τύπος πρέπει να γίνουν κάποιες παραδοχές που δεν αναφέρονται
και φυσικά δεν τις γνωρίζω.

Η συνάρτηση \Gamma έχει πόλους.
Τι γίνεται όταν στον παρανομαστή έχουμε \infty ;
Το βάζουμε 0 ;

Η συνάρτηση που ζητείται να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier δεν είναι πάντα ολοκληρώσιμη.
Ετσι δεν μπορούμε να έχουμε σειρά Fourier- Lebesgue.
Μπορεί όμως να έχουμε σειρά Fourier- Riemman.

Ο υπολογισμός που έγραψες είναι καθαρά τυπικός και σίγουρα για να ισχύει πρέπει να γίνουν κάποιες
παραδοχές.
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 15, 2020 10:17 am
Ας βάλουμε για τα a, x που ορίζεται.
Νομίζω ότι θα χάσουμε την μπάλα.
Και υπάρχει το πρόβλημα των ορισμών που θα δεχθούμε.

Ερωτήσεις για τον Τόλη.
1.Από που είναι το θέμα ;
2.Εχεις λινκ με την απόδειξη του Exteded Binomial Theorem ;