Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 14, 2020 9:58 pm

Έστω a \in \mathbb{R}.
  1. Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση \displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}} σε σειρά Fourier συνημιτόνων.
  2. Να δειχθεί η ταυτότητα:

    \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} = \frac{\left ( 2 \cos \frac{x}{2} \right )^{2a}}{\Gamma\left ( 2a+1 \right )}}
    όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3224
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιούλ 14, 2020 11:07 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 9:58 pm
Έστω a \in \mathbb{R}.
  1. Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση \displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}} σε σειρά Fourier συνημιτόνων.
  2. Να δειχθεί η ταυτότητα:

    \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} = \frac{\left ( 2 \cos \frac{x}{2} \right )^{2a}}{\Gamma\left ( 2a+1 \right )}}
    όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler.
Τόλη γράψε σωστά την εκφώνηση.
Πχ τι είναι το a ;
Για ποία x ισχύει η ταυτότητα.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm

Μα Σταύρο στο ορίζω το a. Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα x \in \mathbb{R}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3224
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιούλ 14, 2020 11:49 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
Μα Σταύρο στο ορίζω το a. Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα x \in \mathbb{R}.
Δεν το είδα.
Και ο λόγος είναι γιατί τότε πρέπει να περιορίσεις τα x
Η ταυτότητα αποκλείεται να ισχύει στο \mathbb{R}.
Πρόσεξε το (-1)^{\sqrt{2}}
δεν οριζεται στο \mathbb{R} και στο \mathbb{C}
δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12496
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 15, 2020 8:51 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 9:58 pm
Έστω a \in \mathbb{R}.
  1. Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση \displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}} σε σειρά Fourier συνημιτόνων.
  2. Να δειχθεί η ταυτότητα:

    \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} = \frac{\left ( 2 \cos \frac{x}{2} \right )^{2a}}{\Gamma\left ( 2a+1 \right )}}
    όπου \Gamma η συνάρτηση Γάμμα του Euler.
Σίγουρα;

Πέρα από το σχόλιο του Σταύρου, έχω και άλλες απορίες: Μήπως το \cos nx πρέπει να γίνει \cos ^nx (αλλά τότε δεν είναι σειρά Fourier).

Επίσης, σίγουρα το άθροισμα πάει από "μείον άπειρο στο άπειρο" και όχι από το "μηδέν στο άπειρο"; Έχω δύο λόγους να το νομίζω αυτό. Ο πρώτος είναι ότι αν πούμε a_N τον τυπικό συντελεστή τότε

a_{-N} = \dfrac{\cos (-Nx)}{\Gamma\left ( a-N+1 \right ) \Gamma \left ( a+N+1 \right )} = \dfrac{-\cos (Nx)}{\Gamma\left ( a+N+1 \right ) \Gamma \left ( a-N+1 \right )} = -a_N

οπότε φεύγουν κατά ζεύγη και μένει μόνο ο όρος a_0.

Άλλος λόγος είναι ότι στο πρώτο ερώτημα έχουμε, εκεί που έχει νόημα η παράσταση,

\displaystyle{ \left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}}= 2^a \left(2\cos ^2\frac{x}{2}\right)^{a}= 2^a \left(1+ \cos x\right)^{a} = 2^a \sum _{n=0}^{\infty} \dfrac { \Gamma (a+1)}{\Gamma (n+1) \Gamma (a-n+1)} \cos ^nx  }

H παράσταση αυτή οδηγεί σε ταυτότητα που μοιάζει με την ζητούμενη αλλά δεν είναι ακριβώς ίδια (οι συντελεστές έχουν μικροδιαφορές και το \cos είναι σε δυνάμεις).

Μήπως δεν βλέπω κάτι γιατί... δεν ήπια ακόμη καφέ;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 15, 2020 10:17 am

Η ταυτότητα έχει ελεγχθεί με το W|A για διάφορες τιμές των x και a. Είναι:

\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(a+n+1)\Gamma(a-n+1)}=\frac{1}{(a+n)!(a-n)!}=\frac{1}{(2a)!}\binom{2a}{a+n}}
Οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )}   &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\left ( a+n \right )! \left ( a-n \right )!} \\  
 &=\frac{1}{\left (2a  \right )!}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} \cos nx   \\  
 &=\frac{1}{\left (2a  \right )!}\mathfrak{Re} \left ( \sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} e^{inx} \right )  
\end{aligned}}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:49 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
Μα Σταύρο στο ορίζω το a. Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα x \in \mathbb{R}.
Δεν το είδα.
Και ο λόγος είναι γιατί τότε πρέπει να περιορίσεις τα x
Η ταυτότητα αποκλείεται να ισχύει στο \mathbb{R}.
Πρόσεξε το (-1)^{\sqrt{2}}
δεν οριζεται στο \mathbb{R} και στο \mathbb{C}
δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Ας βάλουμε για τα a, x που ορίζεται.

Extended Binomial Theorem έγραψε:\displaystyle{\left( 1 + z \right)^r = \sum_{k \mathop \in \mathbb{Z}} \binom {r}{\alpha + k} z^{\alpha + k}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3224
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 17, 2020 9:44 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 15, 2020 10:17 am
Η ταυτότητα έχει ελεγχθεί με το W|A για διάφορες τιμές των x και a. Είναι:

\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(a+n+1)\Gamma(a-n+1)}=\frac{1}{(a+n)!(a-n)!}=\frac{1}{(2a)!}\binom{2a}{a+n}}
Οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )}   &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\left ( a+n \right )! \left ( a-n \right )!} \\  
 &=\frac{1}{\left (2a  \right )!}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} \cos nx   \\  
 &=\frac{1}{\left (2a  \right )!}\mathfrak{Re} \left ( \sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} e^{inx} \right )  
\end{aligned}}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:49 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
Μα Σταύρο στο ορίζω το a. Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα x \in \mathbb{R}.
Δεν το είδα.
Και ο λόγος είναι γιατί τότε πρέπει να περιορίσεις τα x
Η ταυτότητα αποκλείεται να ισχύει στο \mathbb{R}.
Πρόσεξε το (-1)^{\sqrt{2}}
δεν οριζεται στο \mathbb{R} και στο \mathbb{C}
δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Ας βάλουμε για τα a, x που ορίζεται.

Extended Binomial Theorem έγραψε:\displaystyle{\left( 1 + z \right)^r = \sum_{k \mathop \in \mathbb{Z}} \binom {r}{\alpha + k} z^{\alpha + k}}
Καλημέρα από την Χαλκίδα.
Τουλάχιστον για μένα υπάρχουν πολλά προβλήματα.
Μερικά από αυτά είναι
Extended Binomial Theorem έγραψε:\displaystyle{\left( 1 + z \right)^r = \sum_{k \mathop \in \mathbb{Z}} \binom {r}{\alpha + k} z^{\alpha + k}}
Από ότι είδα στην παραπομπή ο τύπος ισχύει για μιγαδικά a,r
Αλλά είναι γνωστό ότι δύναμη μιγαδικού σε μιγαδικό γενικά δεν ορίζεται μονοσήμαντα.
Αυτό σημαίνει ότι για να ισχύει ο τύπος πρέπει να γίνουν κάποιες παραδοχές που δεν αναφέρονται
και φυσικά δεν τις γνωρίζω.

Η συνάρτηση \Gamma έχει πόλους.
Τι γίνεται όταν στον παρανομαστή έχουμε \infty ;
Το βάζουμε 0 ;

Η συνάρτηση που ζητείται να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier δεν είναι πάντα ολοκληρώσιμη.
Ετσι δεν μπορούμε να έχουμε σειρά Fourier- Lebesgue.
Μπορεί όμως να έχουμε σειρά Fourier- Riemman.

Ο υπολογισμός που έγραψες είναι καθαρά τυπικός και σίγουρα για να ισχύει πρέπει να γίνουν κάποιες
παραδοχές.
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 15, 2020 10:17 am
Ας βάλουμε για τα a, x που ορίζεται.
Νομίζω ότι θα χάσουμε την μπάλα.
Και υπάρχει το πρόβλημα των ορισμών που θα δεχθούμε.

Ερωτήσεις για τον Τόλη.
1.Από που είναι το θέμα ;
2.Εχεις λινκ με την απόδειξη του Exteded Binomial Theorem ;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης