Τριγωνομετρική σειρά

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\sinh^2 m \pi} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2\pi}}$

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 09, 2020 9:47 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\sinh^2 m \pi} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2\pi}}$

Θα χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα από εδώ. Οπότε, έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sinh^2\!\pi n}&=4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-2\pi n}}{(1-e^{-2\pi n})^2}\\ &=4\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}k\:e^{-2\pi n k} \\ &=4\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{-2\pi n k}\right) \\ &=4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{e^{2\pi k}-1} \\ &=\frac{1}{6}-\frac1{2\pi} \end{aligned} }$

Τριγωνομετρική σειρά

Τριγωνομετρική σειρά

Re: Τριγωνομετρική σειρά

Μέλη σε σύνδεση