Τριγωνομετρική σειρά

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τριγωνομετρική σειρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιούλ 09, 2020 9:47 pm

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\sinh^2 m \pi} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2\pi}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Τριγωνομετρική σειρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 25, 2020 11:14 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 09, 2020 9:47 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\sinh^2 m \pi} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2\pi}}

Θα χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα από εδώ. Οπότε, έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sinh^2\!\pi n}&=4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-2\pi n}}{(1-e^{-2\pi n})^2}\\ 
&=4\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}k\:e^{-2\pi n k} \\  
&=4\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{-2\pi n k}\right) \\ 
&=4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{e^{2\pi k}-1} \\ 
&=\frac{1}{6}-\frac1{2\pi} 
\end{aligned} }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης