Όριο!

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\gamma_n = \mathcal{H}_n - \ln n$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \sin \gamma_n - \sin \gamma \right) \sqrt[n]{n!}}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 8:47 pm
Έστω $\gamma_n = \mathcal{H}_n - \ln n$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \sin \gamma_n - \sin \gamma \right) \sqrt[n]{n!}}$

$\ell=\dfrac{\cos \gamma }{2e}.$

Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με $\gamma _n-\gamma$ (η ακολουθία $\gamma _n-\gamma$ δεν έχει μηδενικό όρο)

και χρησιμοποιώντας τα:

$\gamma _n-\gamma\sim \dfrac{1}{2n},$

$\sqrt[n]{n!}\sim \sqrt[2n]{2\pi n}\dfrac{n}{e},$

$\dfrac{\sin \gamma_n - \sin \gamma}{\gamma_n-\gamma}\rightarrow \cos \gamma,$

βρίσκουμε εύκολα αυτό που έγραψα παραπάνω.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 30, 2020 8:47 pm
Έστω $\gamma_n = \mathcal{H}_n - \ln n$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left( \sin \gamma_n - \sin \gamma \right) \sqrt[n]{n!}}$

Μπορούμε καλύτερα να δείξουμε ότι $\left( \sin \gamma_n - \sin \gamma \right) \sqrt[n]{n!}=\dfrac{\cos \gamma }{2e}+O(n^{-2}).$

Tolaso J Kos · #4

Ένα όριο που προκύπτει κάπως "φυσικά" από το πάνω όριο είναι το εξής:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \left( \gamma_n - \gamma \right)}$

Όριο!

Όριο!

Re: Όριο!

Re: Όριο!

Re: Όριο!

Μέλη σε σύνδεση