Όγκος στερεού
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Όγκος στερεού
Έστω το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές και το δίχωνο υπερβολοειδές .
Να βρεθεί ο όγκος του συναρτήσει των .
Να βρεθεί ο όγκος του συναρτήσει των .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Όγκος στερεού
Γρηγόρη Καλημέρα....
Παρουσιάζω αρχικά δύο σχήματα.
Το πρώτο εμφανίζει τις δυο αυτές επιφάνειες και το δεύτερο απομονώνει το ζητούμενο
στερεό που περιέχεται ανάμεσα από αυτές.
Το πρώτο σχήμα:
Στο σχήμα αυτό εμφανίζεται με θαλασσί χρώμα το δίχωνο υπερβολοειδές και
με πρασινωπό χρώμα το μονόχωνο υπερβολοειδές.
Το δεύτερο σχήμα:
Στο σχήμα αυτό εμφανίζεται το περιεχόμενο στερεό των αρχικών επιφανειών
το οποίο παράπλευρα έχει χρώμα πράσινο και είναι τμήμα του μονόχωνου υπερβολοειδούς
και οι δύο "βάσεις" του έχουν χρώμα κίτρινο και είναι τμήμα του δίχωνου υπερβολοειδούς.
Όμορφες επιφάνειες και σχήματα!! Απολαυστικές!!!
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Όγκος στερεού
Καλησπέρα...
Για καλύτερη παρουσίαση του στερεού αυτού παρουσιάζω το κατωτέρω σχήμα:
Στο σχήμα αυτό εμφανίζεται ένα στιγμιότυπο της δημιουργίας του και
είναι το μισό της τομής των δύο υπερβολοειδών.
Στον κατωτέρω σύνδεσμο μπορείτε να δείτε και το δυναμικό σχήμα.
https://www.geogebra.org/m/tjrw4nhj
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Όγκος στερεού
...για όσους ενδιαφέρονται, επιπρόσθετα:
Για το πεδίο
να βρεθεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα , όπου το μονόχωνο υπερβολοειδές.
Re: Όγκος στερεού
Γρηγόρη καλημέρα....
Συνεχίζω στο αρχικό πρόβλημα...
Στο πρώτο σχήμα εμφανίζω το του αρχικού στερεού. Στο δεύτερο σχήμα εμφανίζεται ένα τμήμα κυλινδρικης επιφάνειας
το οποίο περιβάλλει το προηγούμενο.
Θα ακολουθήσει στη συνέχεια ο υπολογισμός του όγκου του στερεού .
Στη διεύθυνση:
https://www.geogebra.org/m/mja5afn7
μπορείτε να δείτε και το δυναμικό σχήμα.
Κώστας Δόρτσιος
Re: Όγκος στερεού
(Συνέχεια...)
Αρχικά πρέπει να πούμε ότι η τομή του μονόχωνου υπερβολοειδούς με το επίπεδο είναι η έλλειψη:
κι ύστερα εύκολα διαπιστώνουμε ότι η τομή των δύο αυτών υπερβολοειδών είναι δύο ελλείψεις οι οποίες προβάλλονται
στο οριζόντιο επίπεδο στην έλλειψη:
Οι τύποι (1) και (2) εύκολα βρίσκονται και οι ελλείψεις αυτές φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:
Οι ελλείψεις αυτές εμφανίζονται και στα δύο σχήματα του προηγούμενου μηνύματός μου.
Υπολογισμός του όγκου του στερεού
Είναι:
με
όπου:
είναι όγκος του χωρίου που περιβάλλεται από την κυλινδρική επιφάνεια με οδηγό την καμπύλη ,
από την έλλειψη και από ένα τμήμα του δίχωνου υπερβολοειδούς.
Δηλαδή:
και είναι ο όγκος του χωρίου που περιβάλλεται από την ίδια κυλινδρική επιφάνεια που αναφέρθηκε προηγούμενα,
από το χωρίο και από την επιφάνεια του μονόχωνου υπερβολοειδούς.
Δηλαδή:
Τα ολοκλήρωμα (5) υπολογίζεται εύκολα με την αντικατάσταση:
και το ολοκλήρωμα (6) αντίστοιχα με την αντικατάσταση:
Οι υπολογισμοί θα γίνουν στο επόμενο μήνυμα...
Κώστας Δόρτσιος
τελευταία επεξεργασία από KDORTSI σε Παρ Ιούλ 10, 2020 12:22 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Όγκος στερεού
(Συνέχεια...)
Το ολοκλήρωμα
υπολογίζεται όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο μήνυμα θέτοντας:
όπου:
και
Η Ιακωβιανή στην περίπτωση αυτή είναι:
και τότε:
Έτσι το ολοκλήρωμα (5) γίνεται:
Το τελευταίο ολοκλήρωμα εύκολα υπολογίζεται και είναι:
Το δεύτερο ολοκλήρωμα:
υπολογίζεται με τους ίδιους μετασχηματισμούς αλλά με τους περιορισμούς:
και
Έτσι οι σχέσεις παραμένουν ίδιες και συνεπώς θα είναι:
Μετά από πράξεις τελικά θα είναι:
Έτσι από τις σχέσεις θα είναι:
και ο ζητούμενος όγκος του στερεού θα είναι:
όπου είναι οι αριθμητικοί συντελεστές των τύπων
Κώστας Δόρτσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Όγκος στερεού
Μετά από αρκετό καιρό, δίνουμε και μια δεύτερη επίλυση για την εύρεση του όγκου με την χρήση του θεωρήματος απόκλισης:
Έστω το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές και το δίχωνο υπερβολοειδές .
Θέτοντας και λύνοντας το σύστημα
προκύπτει ότι οι δυο επιφάνειες έχουν κοινά σημεία τομής τις ελλείψεις Μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας είναι
με αντίστοιχο κάθετο διάνυσμα , το οποίο "δείχνει" προς το εξωτερικό του στερεού . Ομοίως μια παραμετρική παράσταση του "θετικού" τμήματος της επιφάνειας είναι
με αντίστοιχο κάθετο διάνυσμα
το οποίο "δείχνει" προς το εξωτερικό του στερεού , ενώ μια παραμετρική παράσταση του "αρνητικού" τμήματος της επιφάνειας είναι
με αντίστοιχο κάθετο διάνυσμα
το οποίο "δείχνει" προς το εξωτερικό του στερεού .
Επιλέγοντας , από το θεώρημα απόκλισης προκύπτει ότι
Έστω το στερεό που περικλείεται από το μονόχωνο υπερβολοειδές και το δίχωνο υπερβολοειδές .
Θέτοντας και λύνοντας το σύστημα
προκύπτει ότι οι δυο επιφάνειες έχουν κοινά σημεία τομής τις ελλείψεις Μια παραμετρική παράσταση της επιφάνειας είναι
με αντίστοιχο κάθετο διάνυσμα , το οποίο "δείχνει" προς το εξωτερικό του στερεού . Ομοίως μια παραμετρική παράσταση του "θετικού" τμήματος της επιφάνειας είναι
με αντίστοιχο κάθετο διάνυσμα
το οποίο "δείχνει" προς το εξωτερικό του στερεού , ενώ μια παραμετρική παράσταση του "αρνητικού" τμήματος της επιφάνειας είναι
με αντίστοιχο κάθετο διάνυσμα
το οποίο "δείχνει" προς το εξωτερικό του στερεού .
Επιλέγοντας , από το θεώρημα απόκλισης προκύπτει ότι
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Όγκος στερεού
Δίνουμε και σε αυτό το ερώτημα μια λύση:
Για την επιφάνεια , (με τον προσανατολισμό που επιλέχθηκε παραπάνω) μια παραμετρική παράσταση του θετικά προσανατολισμένου συνόρου της είναι
Από το θεώρημα Stokes έχουμε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες