Δεν ... υπάρχει

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Δεν ... υπάρχει

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιουν 16, 2020 3:19 pm

Έστω ακολουθία a_n με a_n \geq 0 τέτοια ώστε 0< \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n < +\infty. Να δειχθεί ότι το όριο:

\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}}
δεν υπάρχει.


Δεν έχω λύση!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δεν ... υπάρχει

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιουν 17, 2020 11:46 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 16, 2020 3:19 pm
Έστω ακολουθία a_n με a_n \geq 0 τέτοια ώστε 0< \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n < +\infty. Να δειχθεί ότι το όριο:

\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow +\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}}
δεν υπάρχει.


Δεν έχω λύση!
Θέτουμε
\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}
Από τις υποθέσεις προκύπτει ότι είναι καλά ορισμένη και συνεχής.
Αν θέσουμε x=k!2\pi
τότε \displaystyle f(x)=\sum_{n=k+1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}
και
\displaystyle |f(x)|\leq \sum_{n=k+1}^{\infty} a_n

Από την παραπάνω παίρνουμε ότι αν το όριο υπάρχει είναι 0.
Εστω n_0 ο ελάχιστος φυσικός με a_{n_{0}}>0.
Υπάρχει m>n_0 φυσικός ώστε για l>m να είναι
\displaystyle \sum_{n=l}^{\infty} a_n< \frac{a_{n_{0}}}{200n_0}

παίρνουμε
x=k!2\pi+\frac{\pi }{4}

Είναι
\displaystyle f(x)=\sum_{n=n_{0}}^{k} a_n \sin \frac{\pi }{4n}+\sum_{n=k+1}^{\infty } a_n \sin \frac{x }{n}
\displaystyle > a_{n_{0}}.\frac{2}{\pi }\frac{\pi }{4n_0}+\sum_{n=k+1}^{\infty } a_n \sin \frac{x }{n}
\displaystyle > a_{n_{0}}.\frac{2}{\pi }\frac{\pi }{4n_0}-\sum_{n=k+1}^{\infty } a_n > a_{n_{0}}.\frac{2}{\pi }\frac{\pi }{4n_0}-a_{n_{0}}\frac{1}{200n_0}
για k>m
που δείχνει ότι το όριο δεν μπορεί να είναι 0
Αρα το όριο δεν υπάρχει


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες