Σύγκλιση σειράς 202

#1

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\big(1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\big)\,.$

#2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 14, 2020 12:00 am
Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\big(1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\big)\,.$

Από την $e^{-x}\ge 1-x$ έχουμε $\displaystyle{2^{-\frac{2^n}{n!}} = e^ { -\frac {2^n}{n!}\ln 2 }\ge 1 -\dfrac {2^n}{n!}\ln 2 }$ . Άρα

$\displaystyle{0 \le 1 - 2^{-\frac{2^n}{n!}} \le \frac {2^n}{n!}\ln 2 }$

Επειδή η σειρά $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac {2^n}{n!} }$ συγκλίνει (στο e^2

από την δυναμοσειρά του e^x

), το κριτήριο σύγκρισης μας λέει ότι η ζητούμενη σειρά συγκλίνει.

#3

Ακόμα μια προσέγγιση:

Για κάθε $n\geqslant6$ ισχύει
$\begin{aligned} \frac{2^n}{n!}\leqslant\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n-1}\quad\Rightarrow\quad0<1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\leqslant1-2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}\quad(*) \end{aligned}$
Επειδή
$\begin{aligned} \lim_{n\to +\infty}\frac{1-2^{-(\frac{2}{3})^{n}}}{1-2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}}&=\lim_{n\to +\infty}\frac{-2^{-(\frac{2}{3})^{n}}\big(\frac{2}{3}\big)^{n}\log\big(\frac{2}{3}\big)\log2}{-2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}\big(\frac{2}{3}\big)^{n-1}\log\big(\frac{2}{3}\big)\log2}\\ &=\frac{2}{3}\lim_{n\to +\infty}\frac{2^{-(\frac{2}{3})^{n}}}{2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}}\\ &=\frac{2}{3}\lim_{n\to +\infty}2^{-(\frac{2}{3})^{n}+(\frac{2}{3})^{n-1}}\\ &=\frac{2}{3}\,1\\ &=\frac{2}{3}\\ &<1\,, \end{aligned}$
από το κριτήριο D' Alembert προκύπτει ότι $\sum_{n=6}^{+\infty}\big(1-2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}\big)<+\infty$ και, λόγω της (*)

, $\sum_{n=6}^{+\infty}\big(1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\big)<+\infty\,.$ Τελικά $\sum_{n=2}^{+\infty}\big(1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\big)<+\infty\,.$

Edit: 15/6/20: Διορθώθηκε η αρχική συνθήκη $\color{blue}n\geqslant2$ σε $\color{blue} n\geqslant6$ για την πρώτη ανισότητα, δίχως να αλλάζει ουσιαστικά η λύση. Ευχαριστίες στον Λάμπρο Κατσάπα που το παρατήρησε.

Σύγκλιση σειράς 202

Σύγκλιση σειράς 202

Re: Σύγκλιση σειράς 202

Re: Σύγκλιση σειράς 202

Μέλη σε σύνδεση