Σύγκλιση σειράς 202

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σύγκλιση σειράς 202

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 14, 2020 12:00 am

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\big(1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\big)\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12422
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς 202

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 14, 2020 12:51 am

grigkost έγραψε:
Κυρ Ιουν 14, 2020 12:00 am
Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\big(1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\big)\,.
Από την e^{-x}\ge 1-x έχουμε \displaystyle{2^{-\frac{2^n}{n!}} = e^ { -\frac {2^n}{n!}\ln 2 }\ge 1  -\dfrac {2^n}{n!}\ln 2 }. Άρα

\displaystyle{0 \le   1  - 2^{-\frac{2^n}{n!}} \le \frac {2^n}{n!}\ln 2   }

Επειδή η σειρά \displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}  \frac {2^n}{n!} } συγκλίνει (στο e^2 από την δυναμοσειρά του e^x), το κριτήριο σύγκρισης μας λέει ότι η ζητούμενη σειρά συγκλίνει.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση σειράς 202

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 14, 2020 8:45 am

Ακόμα μια προσέγγιση:

Για κάθε n\geqslant6 ισχύει
\begin{aligned} 
\frac{2^n}{n!}\leqslant\Big(\frac{2}{3}\Big)^{n-1}\quad\Rightarrow\quad0<1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\leqslant1-2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}\quad(*) 
\end{aligned}
Επειδή
\begin{aligned} 
\lim_{n\to +\infty}\frac{1-2^{-(\frac{2}{3})^{n}}}{1-2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}}&=\lim_{n\to +\infty}\frac{-2^{-(\frac{2}{3})^{n}}\big(\frac{2}{3}\big)^{n}\log\big(\frac{2}{3}\big)\log2}{-2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}\big(\frac{2}{3}\big)^{n-1}\log\big(\frac{2}{3}\big)\log2}\\ 
&=\frac{2}{3}\lim_{n\to +\infty}\frac{2^{-(\frac{2}{3})^{n}}}{2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}}\\ 
&=\frac{2}{3}\lim_{n\to +\infty}2^{-(\frac{2}{3})^{n}+(\frac{2}{3})^{n-1}}\\ 
&=\frac{2}{3}\,1\\ 
&=\frac{2}{3}\\ 
&<1\,, 
\end{aligned}
από το κριτήριο D' Alembert προκύπτει ότι \sum_{n=6}^{+\infty}\big(1-2^{-(\frac{2}{3})^{n-1}}\big)<+\infty και, λόγω της (*), \sum_{n=6}^{+\infty}\big(1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\big)<+\infty\,. Τελικά \sum_{n=2}^{+\infty}\big(1-2^{-\frac{2^n}{n!}}\big)<+\infty\,.



Edit: 15/6/20: Διορθώθηκε η αρχική συνθήκη \color{blue}n\geqslant2 σε \color{blue} n\geqslant6 για την πρώτη ανισότητα, δίχως να αλλάζει ουσιαστικά η λύση. Ευχαριστίες στον Λάμπρο Κατσάπα που το παρατήρησε.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης