Γινόμενο!

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Γινόμενο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιουν 07, 2020 10:37 pm

Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\Pi = \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{1}{\phi^n} \right )^{\frac{\mu(n) - \varphi(n)}{n}} = e }
όπου \phi ο χρυσός λόγος, \mu η συνάρτηση Möbius και \varphi η συνάρτηση Euler.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 09, 2020 1:21 pm

Έχουμε

\begin{aligned} 
&\sum_{n=1}^{\infty}  \frac{\mu(n) - \varphi(n)}{n}\log\left(1 - \frac{1}{\varphi^n} \right) \\ 
=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varphi(n) - \mu(n)}{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\varphi^{kn}} \\ 
=&\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m \varphi^m} \sum_{d|m} \left(\varphi(d) - \mu(d) \right) \\ 
=& \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{\varphi^m}= \frac{1}{\varphi^2} \frac{1}{1- \frac{1}{\varphi}} = \frac{1}{\varphi^2-\varphi} = 1  
\end{aligned}

Από την τρίτη στην τέταρτη γραμμή χρησιμοποιήσαμε ότι \displaystyle \sum_{d|m} \varphi(d) = m και \displaystyle \sum_{d|m} \mu(d) =\begin{cases} 
1 & m=1 \\ 
0 & m > 1 
\end{cases}

Το ζητούμενο έπεται.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τρί Ιουν 09, 2020 1:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιουν 09, 2020 1:57 pm

Demetres έγραψε:
Τρί Ιουν 09, 2020 1:21 pm

=& \sum_{m=2}^{\infty} = \frac{1}{\varphi^2} \frac{1}{1- \frac{1}{\varphi}} = \frac{1}{\varphi^2-\varphi} = 1
Ω ναι! Εδώ μάλλον πρέπει να έχει ξεχαστεί το \phi^n στο άθροισμα! Βέβαια το παραπάνω άθροισμα είναι ειδική περίπτωση αθροίσματος της συνάρτησης Liouville .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 09, 2020 2:00 pm

Ευχαριστώ το διόρθωσα. Είχα και ένα τυπογραφικό στην προηγούμενη γραμμή.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιουν 09, 2020 2:08 pm

Ας δούμε και το γενικότερα αποτέλεσμα:

\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{1}{\phi^n} \right )^{\frac{\mu(n) - \varphi(n) + \lambda(n)}{n}} = \sqrt{\frac{e^3}{\exp \left ( \vartheta_3\left ( 0; \frac{1}{\phi} \right ) \right )}}}
όπου \lambda' συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle{\sum \limits_{d \mid n} \lambda'(d) = \left\{\begin{matrix} 
n & , & \text{if n is a perfect square} \\  
0 & , & \text{otherwise}  
\end{matrix}\right.} και \vartheta_3 η συνάρτηση του Jacobi.


Ευχαριστώ Δημήτρη. Φαίνεται πως η άσκηση που στάλθηκε στο RMM είναι λάθος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 10, 2020 10:37 pm

Το επαναφέρω μιας και έγινε διόρθωση στο ζητούμενο και μερικοί μπορεί να μην το προσέξουν.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 11, 2020 10:53 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 09, 2020 2:08 pm
Ας δούμε και το γενικότερα αποτέλεσμα:

\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{1}{\phi^n} \right )^{\frac{\mu(n) - \varphi(n) + \lambda'(n)}{n}} = \sqrt{\frac{e^3}{\exp \left ( \vartheta_3\left ( 0; \frac{1}{\phi} \right ) \right )}}}
όπου \lambda' συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle{\sum \limits_{d \mid n} \lambda'(d) = \left\{\begin{matrix} 
n & , & \text{if n is a perfect square} \\  
0 & , & \text{otherwise}  
\end{matrix}\right.} και \vartheta_3 η συνάρτηση του Jacobi.

Βασικά Δημήτρη αντιγράφοντας τη δική σου τεχνική έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned}  
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda'(n)}{n} \log \left ( 1 - \frac{1}{\phi^n} \right ) &= -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda'(n)}{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \phi^{kn}} \\ &=-\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m\phi^m} \sum_{d \mid m} \lambda'(m) \\  
&=-\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\phi^{m^2}}\\  
&= - \frac{1}{2} \left ( \vartheta_3 \left ( 0; \frac{1}{\phi} \right ) - 1 \right )  
\end{aligned}}
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 09, 2020 2:08 pm

όπου \lambda' συνάρτηση τέτοια ώστε
\displaystyle{\sum \limits_{d \mid n} \lambda'(d) = \left\{\begin{matrix} 
n & , & \text{if n is a perfect square} \\  
0 & , & \text{otherwise}  
\end{matrix}\right.}

Υπάρχει τέτοια συνάρτηση Δημήτρη που να είναι γνωστή στη βιβλιογραφία;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 11, 2020 11:53 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιουν 11, 2020 10:53 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 09, 2020 2:08 pm

όπου \lambda' συνάρτηση τέτοια ώστε
\displaystyle{\sum \limits_{d \mid n} \lambda'(d) = \left\{\begin{matrix} 
n & , & \text{if n is a perfect square} \\  
0 & , & \text{otherwise}  
\end{matrix}\right.}

Υπάρχει τέτοια συνάρτηση Δημήτρη που να είναι γνωστή στη βιβλιογραφία;

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αντιστροφή Mobius για να τη βρούμε. Ορίζουμε \displaystyle  f(n) = \sum \limits_{d \mid n} \lambda'(d) . Τότε είναι

\displaystyle  \lambda'(n) = \sum_{d|n}^{\mu(n/d) f(d)}  = \sum_{\stackrel{d|n}{d=k^2}} d \mu(n/d)

Αν τώρα n = p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} υπάρχει μόνο μία τιμή του d ώστε και το d να είναι τέλειο τετράγωνο αλλά και το \mu(n/d) να μην είναι 0, δηλαδή το n/d να είναι ελεύθερο τετραγώνου. Πρέπει d = h(n) όπου h(n) το τετράγωνο μέρος του αριθμού n. Π.χ. h(600) = 100 επειδή 600 = 6 \cdot 100 και το 6 είναι ελεύθερο τετραγώνο. Ο συμβολισμός είναι δικός μου. Δεν γνωρίζω αν υπάρχει συμβολισμός.

Καταλήγουμε στο \lambda'(n) = h(n)\lambda(n). Δεν γνωρίζω αν υπάρχει κάποιος άλλος συμβολισμός.
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιουν 11, 2020 10:53 am
\displaystyle{\begin{aligned}  
&=-\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\phi^{m^2}}\\  
&= - \frac{1}{2} \left ( \vartheta_3 \left ( 0; \frac{1}{\phi} \right ) - 1 \right )  
\end{aligned}}
Εδώ με πειράζει κάπως να χρησιμοποιούμε πιο πολύπλοκους συμβολισμούς από ότι πρέπει. Δεν υπήρχε λόγος να γίνει αναφορά στη \vartheta_3. Έχοντας ήδη την προηgούμενη δουλειά που έκανα ο περισσότερος και αχρείαστος κόπος που έπρεπε να κάνει κάποιος ήταν να αποκρυπτογραφήσεi τι στο καλό είναι αυτή η συνάρτηση \vartheta_3.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιουν 11, 2020 12:41 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Ιουν 11, 2020 11:53 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιουν 11, 2020 10:53 am
\displaystyle{\begin{aligned}  
&=-\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\phi^{m^2}}\\  
&= - \frac{1}{2} \left ( \vartheta_3 \left ( 0; \frac{1}{\phi} \right ) - 1 \right )  
\end{aligned}}
Εδώ με πειράζει κάπως να χρησιμοποιούμε πιο πολύπλοκους συμβολισμούς από ότι πρέπει. Δεν υπήρχε λόγος να γίνει αναφορά στη \vartheta_3. Έχοντας ήδη την προηgούμενη δουλειά που έκανα ο περισσότερος και αχρείαστος κόπος που έπρεπε να κάνει κάποιος ήταν να αποκρυπτογραφήσεi τι στο καλό είναι αυτή η συνάρτηση \vartheta_3.

Πιο πολύ Δημήτρη για το glamour. Πάντως οι συναρτήσεις \vartheta του Jacobi είναι γνωστές.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης