Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

ManolisFysikos · #1

Να υπολογιστεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα $\displaystyle \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ όπου $\mathbf{F} = \left<0,-z,y\right>$ και το

είναι το κομμάτι της μοναδιαίας σφαίρας του στο πρώτο ογδοοκύκλιο με εξωτερικό προσανατολισμό.

Οι ερωτήσεις μου είναι οι εξής:
1) Πώς παραμετροποιώ την σφαίρα για το ερώτημα; Δοκίμασα την κλασική παραμετροποίηση $r(\theta,\phi) = \left<\sin \phi \cos \theta, \sin \phi \sin \theta, \cos \phi \right>$ και τα νούμερα δεν βγήκαν όπως θα έπρεπε.
2) Ο προσανατολισμός γιατί μας ενδιαφέρει;

#2

Θα αρχίσω από το (2). Ο ορισμός του $\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$ είναι $\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}S$ όπου το $\mathbf{n}$ είναι μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια. Υπάρχουν δύο επιλογές για το $\mathbf{n}$ γι' αυτό πρέπει να δίνεται ο προσανατολισμός.

Για το (1) τώρα, η παραμετροποίηση που έγραψες είναι σωστή και πρέπει να δουλέψει. Πρόσεξε επίσης τα εξής
(α) Να βάλεις τα όρια σωστά. Τόσο το $\vartheta$ όσο και το $\varphi$ πρέπει να κινούνται από

ως $\pi/2$ .
(β) Δεν πρέπει να ξεχάσεις ότι το $\mathrm{d}S$ γίνεται $\sin{\varphi} \, \mathrm{d}\vartheta \, \mathrm{d}\varphi$ . Κοίταξε ξανά τις σημειώσεις σου να βεβαιωθείς γιατί ισχύει αυτό και πώς να βρίσκεις το $\mathrm{d}S$ για άλλες επιφάνειες.

Είναι σημαντικό να επιλέγουμε την απλούστερη παραμετροποίηση και για αυτό το παράδειγμα είναι η πιο πάνω. Θα μπορούσαμε επίσης να επιλέξουμε την παραμετροποίηση $(x,y,z) = (x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})$ . Εδώ υπάρχει και η δυσκολία να βρούμε ποια είναι τα όρια. Αν π.χ. ολοκληρώσαμε πρώτα ως προς

και μετά ως προς

, τότε τα όρια του

θα εξαρτιώνται από το

. (Δοκίμασε να τα βρεις.) Μετά τα όρια του

είναι εύκολα. Απλά πάμε από το

ως το

. Δοκίμασε και με αυτόν τον τρόπο να δεις αν βγάζεις την ίδια απάντηση.

Πιθανώς να έχεις ήδη δει και κάποια θεωρήματα τα οποία συχνά μας βοηθάνε. Π.χ. εδώ θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και το Θεώρημα Αποκλίσεως (Divergence Theorem) αλλά όχι απευθείας επειδή η επιφάνειά μας δεν είναι κλειστή.

#3

Σημαντικά όσα αναφέρει ο Δημήτρης για τις γενικές περιπτώσεις. Στην συγκεκριμένη περίπτωση η παραμετρική παράσταση

$\overline{R}(x,y)=\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\,\big)\,, \; 0\leqslant x\leqslant1,0\leqslant y\leqslant\sqrt{1-x^2}\,,$

αρκεί -μιας και δεν χρειάζεται να ολοκληρώσουμε- αφού

$\overline{n}(x,y)=\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\,\big)$ , $\overline{F}(\overline{R}(x,y))=\big(0,-\sqrt{1-x^2-y^2},y\big)$ και $\overline{F}(\overline{R}(x,y))\cdot \overline{n}(x,y)=0\,.$

#4

Γρηγόρη έχεις απόλυτο δίκαιο. Αμέλησα να μελετήσω προσεκτικά τη μορφή της $\mathbf{F}$ .

#5

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 04, 2020 8:41 pm
Γρηγόρη έχεις απόλυτο δίκαιο. Αμέλησα να μελετήσω προσεκτικά τη μορφή της $\mathbf{F}$ .

Κι όμως Δημήτρη δεν έχω δίκιο! (πόσο μάλλον απόλυτο δίκιο!)
Να το διασαφηνίσω: Η παραμετρική παράσταση $\overline{R}(x,y)=\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\,\big)\,, \; 0\leqslant x\leqslant1,0\leqslant y\leqslant\sqrt{1-x^2}\,,$ δεν είναι κανονική στο "σύνορο" $\{(x,y,0)\;|\; x^2+y^2=1,x\geqslant0,y\geqslant0 \}$ . Κι αυτό έχει σημασία!

Θα επιστρέψω δίνοντας πλήρη αιτιολόγηση και λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

grigkost έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 04, 2020 10:02 pm

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 04, 2020 8:41 pm
Γρηγόρη έχεις απόλυτο δίκαιο. Αμέλησα να μελετήσω προσεκτικά τη μορφή της $\mathbf{F}$ .
Κι όμως Δημήτρη δεν έχω δίκιο! (πόσο μάλλον απόλυτο δίκιο!)
Να το διασαφηνίσω: Η παραμετρική παράσταση $\overline{R}(x,y)=\big(x,y,\sqrt{1-x^2-y^2}\,\big)\,, \; 0\leqslant x\leqslant1,0\leqslant y\leqslant\sqrt{1-x^2}\,,$ δεν είναι κανονική στο "σύνορο" $\{(x,y,0)\;|\; x^2+y^2=1,x\geqslant0,y\geqslant0 \}$ . Κι αυτό έχει σημασία!

Θα επιστρέψω δίνοντας πλήρη αιτιολόγηση και λύση.

Εχεις δίκιο Γρηγόρη.
Μπορεί να γίνει έτσι βάζοντας λίγο ........
Συγκεκριμένα επειδή η συνάρτηση είναι φραγμένη και η επιφάνεια έχει εμβαδό
μπορούμε να πάμε λίγο μέσα .
Δηλαδή να βγάλουμε επιφάνεια κοντά στο σύνορο που έχει εμβαδό όσο μικρό θέλουμε.
Στην άλλη θα είναι

όποτε είναι όσο κοντά στο

θέλουμε
Αρα είναι

.
Αργότερα θα δώσω λύση χωρίς παραμέτριση.

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 04, 2020 10:46 pm
Εχεις δίκιο Γρηγόρη.
Μπορεί να γίνει έτσι βάζοντας λίγο ........
Συγκεκριμένα επειδή η συνάρτηση είναι φραγμένη και η επιφάνεια έχει εμβαδό
μπορούμε να πάμε λίγο μέσα .
Δηλαδή να βγάλουμε επιφάνεια κοντά στο σύνορο που έχει εμβαδό όσο μικρό θέλουμε.
Στην άλλη θα είναι όποτε είναι όσο κοντά στο θέλουμε
Αρα είναι .
Αργότερα θα δώσω λύση χωρίς παραμέτριση.

Σταύρο, για αυτό το "λίγο..." έγραψα την προηγούμενη δημοσίευσή μου, αφού σκέφτηκα όσους διαβάζουν τις λύσεις μας.

Δίνω μια "πιο φυσιολογική" λύση:

Μια παραμετρική παράσταση του τμήματος $\Sigma$ της σφαίρας S^1

για $x\geqslant0,\,y\geqslant0,\,z\geqslant0\,,$ είναι

$\displaystyle {\overline{R}}(\varphi, \vartheta)=\big(\cos\varphi\sin\vartheta,\,\sin\varphi\sin\vartheta,\,\cos\vartheta\big)\,,\;\varphi\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big], \; \vartheta\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]\,.$

Για $\varphi\in\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big], \; \vartheta\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big]$ , ισχύει ${\overline{R}}_{\varphi}(\varphi, \vartheta)\times{\overline{R}}_{\vartheta}(\varphi, \vartheta)\neq{\overline{0}}$ . Παρότι ${\overline{R}}_{\varphi}(\varphi, 0)\times{\overline{R}}_{\vartheta}(\varphi, 0)={\overline{0}}$ θεωρώντας σαν (θετικά προσανατολισμένο) μοναδιαίο κάθετο στην $\Sigma$ το $\displaystyle {\overline{n}}(\varphi, \vartheta)=\big(\cos\varphi\sin\vartheta,\,\sin\varphi\sin\vartheta,\,\cos\vartheta\big)\,,$ μπορούμε να προχωρήσουμε στον υπολογισμό

$\begin{aligned} \mathop{\oiint}\limits_{\hspace{-0.3cm}\Sigma}{\overline{F}\cdot \overline{n}\,dS}&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\big(0,{-\cos\vartheta},\,\sin\varphi\sin\vartheta\big)\cdot\big(\cos\varphi\sin\vartheta,\,\sin\varphi\sin\vartheta,\,\cos\vartheta\big)\,\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}0\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=0\,. \end{aligned}$

Σημείωση: Είναι σημαντικό το ότι η ${\overline{R}}$ επεκτείνεται σε μια συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση ${\widetilde{R}}:U\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^3$ , όπου

ένα ανοικτό σύνολο με $\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]\times\big[0,\tfrac{\pi}{2}\big]\subset U$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

ManolisFysikos έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 04, 2020 2:38 pm
Να υπολογιστεί το επιφανειακό ολοκλήρωμα $\displaystyle \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ όπου $\mathbf{F} = \left<0,-z,y\right>$ και το είναι το κομμάτι της μοναδιαίας σφαίρας του στο πρώτο ογδοοκύκλιο με εξωτερικό προσανατολισμό.

Οι ερωτήσεις μου είναι οι εξής:
1) Πώς παραμετροποιώ την σφαίρα για το ερώτημα; Δοκίμασα την κλασική παραμετροποίηση $r(\theta,\phi) = \left<\sin \phi \cos \theta, \sin \phi \sin \theta, \cos \phi \right>$ και τα νούμερα δεν βγήκαν όπως θα έπρεπε.
2) Ο προσανατολισμός γιατί μας ενδιαφέρει;

Εστω

το στερεό που είναι το κομμάτι της σφαίρας μαζί με τα επίπεδα που το καθορίζουν.
Από Gauss είναι
$\displaystyle \iiint _{V} divF d\bar{x}=\iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+\iint_{S_1} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+\iint_{S_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+\iint_{S_3} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ (1)

οπου
$\displaystyle S_{1}=\left \{ (0,y,z):z>0,y>0,z^2+y^2\leq 1 \right \}$

$\displaystyle S_{2}=\left \{ (x,0,z):x>0,z>0,x^2+z^2\leq 1 \right \}$

$\displaystyle S_{3}=\left \{ (x,y,0):x>0,y>0,x^2+y^2\leq 1 \right \}$

με αντίστοιχα κάθετα προς τα έξω τα
(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)

Ετσι είναι
$\displaystyle I_1=\iint_{S_1} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0$

$\displaystyle I_2=\iint_{S_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{\left \{ x>0,z>0,x^2+z^2\leq 1 \right \}}zdxdz$

$\displaystyle I_3=\iint_{S_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{\left \{ x>0,y>0,x^2+y^2\leq 1 \right \}}(-y)dxdy$
Λόγω συμμετρίας είναι

I_3+I_2=0

Επίσης είναι
divF=0

Ετσι η (1) δίνει ότι

$\displaystyle \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0$

Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Re: Διανυσματικός Λογισμός Ερώτηση

Μέλη σε σύνδεση