Σελίδα 1 από 1

Κυρτή Ανάλυση - Παρεμβολή αφφινικής συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 13, 2020 12:43 pm
από BronzeP
Έστω f : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R} κυρτή και g : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R} κοίλη και έστω ότι f(x) \leq g(x) για κάθε x\in \mathbb{R}^n. Τότε υπάρχει αφφινική συνάρτηση h : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R} ώστε f(x) \leq h(x) \leq g(x) για κάθε x\in \mathbb{R}^n.

Έχω δείξει ότι υπάρχει αφφινική συνάρτηση h : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R} και c>0 τέτοια ώστε f(x) \leq h(x) \leq g(x)+c για κάθε x\in \mathbb{R}^n. Έχει κανείς κάποια ιδέα πως θα μπορούσε να προχωρήσει?

Ευχαριστώ

Re: Κυρτή Ανάλυση - Παρεμβολή αφφινικής συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 13, 2020 2:55 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
BronzeP έγραψε:
Τετ Μάιος 13, 2020 12:43 pm
Έστω f : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R} κυρτή και g : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R} κοίλη και έστω ότι f(x) \leq g(x) για κάθε x\in \mathbb{R}^n. Τότε υπάρχει αφφινική συνάρτηση h : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R} ώστε f(x) \leq h(x) \leq g(x) για κάθε x\in \mathbb{R}^n.

Έχω δείξει ότι υπάρχει αφφινική συνάρτηση h : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R} και c>0 τέτοια ώστε f(x) \leq h(x) \leq g(x)+c για κάθε x\in \mathbb{R}^n. Έχει κανείς κάποια ιδέα πως θα μπορούσε να προχωρήσει?

Ευχαριστώ
Πήγαινε στο προηγούμενο κεφάλαιο των σημειώσεων που έχεις πάρει
την άσκηση.
Κοίτα τα διαχωριστικά θεωρήματα.
Συμπλήρωμα.
Εσβησα κάτι που ήταν άστοχο.

Re: Κυρτή Ανάλυση - Παρεμβολή αφφινικής συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 13, 2020 9:33 pm
από BronzeP
Λοιπόν κοίταξα το γενικό διαχωριστικό θεώρημα που μου είπατε και έβγαλα την άσκηση με μία σημαντική διαφορά.
Η f να είναι κοίλη και η g να είναι κυρτή. Οπότε αυτό με έβαλε σε σκέψεις μήπως υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση της αρχικής άσκησης.

Re: Κυρτή Ανάλυση - Παρεμβολή αφφινικής συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 13, 2020 9:51 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
BronzeP έγραψε:
Τετ Μάιος 13, 2020 9:33 pm
Λοιπόν κοίταξα το γενικό διαχωριστικό θεώρημα που μου είπατε και έβγαλα την άσκηση με μία σημαντική διαφορά.
Η f να είναι κοίλη και η g να είναι κυρτή. Οπότε αυτό με έβαλε σε σκέψεις μήπως υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση της αρχικής άσκησης.
Εχει τυπογραφικό.
Μπορείς να το δεις ως εξής.
Μια μη σταθερή κυρτή δεν μπορεί να είναι φραγμένη πάνω.
Η f-g είναι κυρτή φραγμένη πάνω.
Αρα δεν μπορεί να ισχύει η ανισοτική σχέση
εκτός αν η f-g είναι σταθερή οπότε και οι δύο είναι αφφινικές κλπ.