Σύγκλιση σειράς

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σύγκλιση σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μάιος 07, 2020 10:08 pm

Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4364
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Μάιος 07, 2020 10:30 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:08 pm
Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.

Η σειρά δε συγκλίνει απόλυτα καθώς \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} \left( 1 - e^{-n} \right)=1 \neq 0. Ακριβώς για τον ίδιο λόγο η σειρά δε συγκλίνει ούτε υπό συνθήκη.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12432
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 07, 2020 11:11 pm

grigkost έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:08 pm
Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.
Υποθέτω ότι πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα, και το σωστό είναι \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{1/n})\,.

Δεν γράφω λύση για να ασχοληθούν οι φοιτητές μας.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύγκλιση σειράς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Μάιος 08, 2020 6:41 am

Δεν συγκλίνει απόλυτα.
Έχουμε e^{\frac{1}{n}} > \frac{1}{n} +1.
Οπότε \sum (e^{\frac{1}{n}} -1) > \sum \frac{1}{n}.
Άρα δεν συγκλίνει απόλυτα αφού η \sum \frac{1}{n} αποκλίνει.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12432
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 08, 2020 10:27 am

stranger έγραψε:
Παρ Μάιος 08, 2020 6:41 am
Δεν συγκλίνει απόλυτα.
Έχουμε e^{\frac{1}{n}} > \frac{1}{n} +1.
Οπότε \sum (e^{\frac{1}{n}} -1) > \sum \frac{1}{n}.
Άρα δεν συγκλίνει απόλυτα αφού η \sum \frac{1}{n} αποκλίνει.
Σωστά αλλά, για να είμαστε απόλυτα ακριβείς, η άσκηση ζητά και την κατά συνθήκη σύγκλιση. Δεν λέω ότι
είναι δύσκολο, πάντως λείπει.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση σειράς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Μάιος 08, 2020 12:13 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 11:11 pm
grigkost έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:08 pm
Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.
Υποθέτω ότι πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα,...
Μιχάλη,

δεν πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα, αλλά για το "προοίμιο" αυτής της σειράς

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)
της οποίας ζητείται η υπό συνθήκη και η απόλυτη σύγκλιση (ή απόκλιση).


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση σειράς

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 08, 2020 2:57 pm

grigkost έγραψε:
Παρ Μάιος 08, 2020 12:13 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 11:11 pm
grigkost έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:08 pm
Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.
Υποθέτω ότι πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα,...
Μιχάλη,

δεν πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα, αλλά για το "προοίμιο" αυτής της σειράς

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)
της οποίας ζητείται η υπό συνθήκη και η απόλυτη σύγκλιση (ή απόκλιση).
Οι όροι της δοσμένης σειράς έχουν σταθερό πρόσημο. Ετσι η υπό συνθήκη και η απόλυτη σύγκλιση είναι η ίδια. Κατά την γνώμη μου περισσότερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η σειρά
\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)
ως προς την απλή και απόλυτη σύγκλιση.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση σειράς

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Μάιος 10, 2020 10:11 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Μάιος 08, 2020 2:57 pm
Οι όροι της δοσμένης σειράς έχουν σταθερό πρόσημο. Ετσι η υπό συνθήκη και η απόλυτη σύγκλιση είναι η ίδια. Κατά την γνώμη μου περισσότερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η σειρά
\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)
ως προς την απλή και απόλυτη σύγκλιση.
Πράγματι οι όροι της σειράς \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)=\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_n (*) έχουν σταθερό (θετικό) πρόσημο αφού

\begin{aligned} 
\log2+\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}&=\begin{cases} 
>0\,, & n=2m\\ 
<0\,,&n=2m-1 
\end{cases}\quad&&\Rightarrow\\ \noalign{\vspace{0.2cm}} 
\exp\big(\log2+\textstyle{\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}}\big)&=\begin{cases} 
>1\,, & n=2m\\ 
<1\,,&n=2m-1 
\end{cases}\quad&&\Rightarrow\\ \noalign{\vspace{0.2cm}} 
2\,\exp\big(\textstyle{\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}}\big)&=\begin{cases} 
>1\,, & n=2m\\ 
<1\,,&n=2m-1 
\end{cases}\quad&&\Rightarrow\\ \noalign{\vspace{0.2cm}} 
1-2\,\exp\big(\textstyle{\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}}\big)&=\begin{cases} 
<0\,, & n=2m\\ 
>0\,,&n=2m-1 
\end{cases}\quad&&\Rightarrow\\ \noalign{\vspace{0.2cm}} 
\alpha_n=(-1)^{n+1}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big)&>0\,. 
\end{aligned}


(*) άλλαξε το (-1)^n σε (-1)^{n+1} ώστε η ακολουθία (\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}} να είναι θετικών όρων.



Υ.Γ. Πράγματι φαίνεται ότι η σύγκλιση της σειράς \sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big) έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση σειράς

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Μάιος 11, 2020 1:12 pm

Παρατίθεται, σε συνέχεια της προηγούμενης δημοσίευσής μου, η ημιτελής λύση που έδωσα:

Η ακολουθία θετικών όρων (\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}} είναι φθίνουσα (για την μονοτονία έχω μια ημιτελή απόδειξη) και μηδενική.

Θα δείξουμε ότι \lim(n\,\alpha_n)\neq0. Πράγματι, για κάθε n\in\mathbb{N} ισχύει

\begin{aligned} 
\log2+\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}&>\footnotemark\log\big(1+\tfrac{1}{20n}\big)>0\quad&&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\exp\big(\log2+\textstyle{\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}}\big)&>\exp\big(\log\big(1+\tfrac{1}{20n}\big)\big)=1+\frac{1}{20n}\quad&&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
-1+2\exp\big(\textstyle{\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}}\big)&>-1+1+\frac{1}{20n}=\frac{1}{20n}\quad&&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\alpha_{2n}=(-1)^{2n+1}\Big(1-2\exp\big(\textstyle{\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}}\big)\Big)&>\frac{1}{20n}\quad&&\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\lim_{n+\infty}(2n\,\alpha_{2n})&\geqslant\lim_{n+\infty}2n\,\frac{1}{20n}=\frac{1}{10}\,. 
\end{aligned}

Επειδή n\,\alpha_{n}>0 για κάθε n\in\mathbb{N}, έπεται ότι \lim(n\,\alpha_n)\neq0.

Από το θεώρημα Abel-Pringsheim προκύπτει ότι η σειρά \sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_n δεν συγκλίνει.

{}^1 Απόδειξη;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση σειράς

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 11, 2020 1:56 pm

Η δική μου απόδειξη για αυτές τις σειρές στηρίζεται
Αν δούμε την ανάπτυξη σε δυναμοσειρά του \ ln (1+x)τότε θα πάρουμε
\ln 2=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{k}}{k+1}+(-1)^{n}\int_{0}^{1}\frac{t^{n}}{1+t}dt
Θα το αφήσω λίγες μέρες και αν δεν γραφεί λύση θα γράψω.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4364
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση σειράς

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 11, 2020 4:05 pm

grigkost έγραψε:
Κυρ Μάιος 10, 2020 10:11 am
Υ.Γ. Πράγματι φαίνεται ότι η σύγκλιση της σειράς \sum_{n=1}^{+\infty}\Big(1-2\exp\Big({\textstyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}}\Big)\Big) έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον.

Πράγματι η τεχνική που προτείνει ο Σταύρος είναι η πλέον ενδεδειγμένη. Μου είναι γνωστή από όλα θέμα με σειρά που περιέχει εκθετικό και αρμονικό όρο. Θα δείξουμε ότι αυτή η σειρά συγκλίνει. Από Taylor με υπόλοιπο έχουμε:

\displaystyle{-\ln 2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} + (-1)^{n+1} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, \mathrm{d}x}
Όμως είναι γνωστό ότι \displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2n} + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n^2} \right )} ( κάνουμε την αντικατάσταση x=e^{-t} και στη συνέχεια εφαρμόζουμε παράγοντες ). Άρα

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k}  =  -\ln 2 + \frac{(-1)^n}{2n} + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n^2} \right )}
Οπότε εκθετίζοντας και φτιάχνοντας τη μέσα ακολουθία έχουμε:

\displaystyle{1- 2 \exp \left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k} \right ) = \frac{(-1)^n}{2n} + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n^2} \right )}
Άρα η σειρά συγκλίνει.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης