mathematica.gr

Υπάρχει υποσύνολο του κλειστό έτσι ώστε να μην είναι κλειστό;

BronzeP έγραψε: ↑

Τετ Απρ 15, 2020 11:40 am

Υπάρχει υποσύνολο του κλειστό έτσι ώστε να μην είναι κλειστό;

Υποθέτω ότι με συμβολίζεις την κυρτή θήκη του . Σωστά;

Αν είναι έτσι, η απάντηση είναι "όχι δεν υπάρχει". Σου δίνω μόνο υπόδειξη γιατί το θέμα είναι απλό.

Υπόδειξη: α) Έστω ότι το είναι άνω και κάτω φραγμένο, οπότε . Ποια είναι η κυρτή θήκη του ; Είναι κλειστό;
β) Το είναι άνω φραγμένο αλλά όχι κάτω, οπότε . Ποια είναι η κυρτή θήκη του ;
γ) Ομοίως οι άλλες δύο περιπτώσεις.

Αν το σύνολο είναι φραγμένο τότε αφού είναι κλειστό παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή( και ). Επειδή τα κυρτά υποσύνολα του είναι ακριβώς τα διαστήματα, η κυρτή θύκη του θα είναι το διάστημα το οποίο είναι κλειστό.
Αν δεν είναι φραγμένο μπορείς να πάρεις περιπτώσεις και με την ίδια λογική μπορείς να βρείς ότι η κυρτή του θήκη είναι πάντα κλειστό σύνολο.
Ουσιαστικά χρησιμοποιώ το ίδιο επιχείρημα με τον κύριο Λαμπρου

Έχετε δίκιο. Ήταν απλό το θέμα, ειδικά μετά την υπόδειξη του κυρίου Λάμπρου.
Σας ευχαριστώ πολύ όλους.