Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Με αφορμή το ολοκλήρωμα εδώ παρουσιάζω παρακάτω τα ολοκληρώματα Ahmed και Coxeter. Το θέμα θα το ανανεώνω σιγά - σιγά. Αν έχετε διαφορετικό τρόπο επίλυσης για τα ολοκληρώματα ή τα λήμματα που παρουσιάζονται παρακάτω μπορείτε ανά πάσα στιγμή να παρέμβετε.
1. Ολοκλήρωμα Coxeter
Θα αποδείξουμε ότι
Απόδειξη. Ξεκινάμε παραθέτοντας βασικά λήμματα.
Λήμμα 1: Ισχύει ότι: .
Λήμμα 2: Ισχύει ότι: .
Απόδειξη. Έχουμε διαδοχικά:
Λήμμα 3: Ισχύει ότι με .
Απόδειξη. Έχουμε διαδοδικά:
Είμαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουμε το αρχικό ολοκλήρωμα. Έχουμε διαδοχικά:
Το χουμε ξανά δει στο τουλάχιστον δύο - τρεις φορές.
1. Ολοκλήρωμα Coxeter
Θα αποδείξουμε ότι
Απόδειξη. Ξεκινάμε παραθέτοντας βασικά λήμματα.
Λήμμα 1: Ισχύει ότι: .
Λήμμα 2: Ισχύει ότι: .
Απόδειξη. Έχουμε διαδοχικά:
Λήμμα 3: Ισχύει ότι με .
Απόδειξη. Έχουμε διαδοδικά:
Είμαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουμε το αρχικό ολοκλήρωμα. Έχουμε διαδοχικά:
Το χουμε ξανά δει στο τουλάχιστον δύο - τρεις φορές.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Ένα ολοκλήρωμα που συνδέεται άμεσα με το ολοκλήρωμα στο Θέμα με την Ολυμπιάδα είναι το παρακάτω.
Ανάγεται ακριβώς στον υπολογισμό του ολοκληρώματος . Αυτό μπορούμε να το δούμε π.χ κάνοντας πρώτα την αντικατάσταση και κάνοντας στη συνέχεια παραγοντική. Για παράδειγμα αν γράψουμε το αρχικό ολοκλήρωμα , τότε:
από το σύνδεσμο. Αξίζει να παρατηρήσουμε πως εδώ έχουμε και μία συμμετρία στο που εξηγεί το αποτέλεσμα αλλά δε ξέρω αν είναι αρκετό αυτό για να μπορέσουμε να βγάλουμε το αποτέλεσμα.
Άλλα ολοκληρώματα Coxeter αποτελούν τα ακόλουθα:
Ανάγεται ακριβώς στον υπολογισμό του ολοκληρώματος . Αυτό μπορούμε να το δούμε π.χ κάνοντας πρώτα την αντικατάσταση και κάνοντας στη συνέχεια παραγοντική. Για παράδειγμα αν γράψουμε το αρχικό ολοκλήρωμα , τότε:
από το σύνδεσμο. Αξίζει να παρατηρήσουμε πως εδώ έχουμε και μία συμμετρία στο που εξηγεί το αποτέλεσμα αλλά δε ξέρω αν είναι αρκετό αυτό για να μπορέσουμε να βγάλουμε το αποτέλεσμα.
Άλλα ολοκληρώματα Coxeter αποτελούν τα ακόλουθα:
- .
- .
- .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
2. Ολοκλήρωμα Ahmed
Θα αποδείξουμε ότι:
Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση . Παραγωγίζοντας ως προς εχουμε:
Ολοκληρώνουμε τη τελευταία σχέση από έως άπειρο. Οπότε,
Όμως,
Συνεπώς η πάνω σχέση δίδει:
Μένει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής και έχουμε:
Γυρνώντας στην έχουμε:
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
[1] Το ολοκλήρωμα αυτό εφευρέθη το 2002 και από τότε είναι γνωστό.
Θα αποδείξουμε ότι:
Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση . Παραγωγίζοντας ως προς εχουμε:
Ολοκληρώνουμε τη τελευταία σχέση από έως άπειρο. Οπότε,
Όμως,
Συνεπώς η πάνω σχέση δίδει:
Μένει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής και έχουμε:
Γυρνώντας στην έχουμε:
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
[1] Το ολοκλήρωμα αυτό εφευρέθη το 2002 και από τότε είναι γνωστό.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Παρεμφερή με τα ολοκληρώματα Ahmed είναι τα παρακάτω.
Απόδειξη για το 3. Το κλειδί είναι η ταυτότητα:
Οπότε , πρέπει να υπολογίσουμε αυτά τα ολοκληρώματα.
Για το πρώτο ολοκλήρωμα έχουμε:
Για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχουμε:
Συνεπώς,
Γενικεύσεις των ολοκληρώματων Ahmed υπάρχουν στον αρχικό σύνδεσμο.
- .
- .
- .
Απόδειξη για το 3. Το κλειδί είναι η ταυτότητα:
Οπότε , πρέπει να υπολογίσουμε αυτά τα ολοκληρώματα.
Για το πρώτο ολοκλήρωμα έχουμε:
Για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχουμε:
Συνεπώς,
Γενικεύσεις των ολοκληρώματων Ahmed υπάρχουν στον αρχικό σύνδεσμο.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Θα κλείσουμε αυτό το mini tutorial με ένα άλλο ολοκλήρωμα που λέγεται ολοκλήρωμα Abel.
3. Ολοκλήρωμα Abel
Θα αποδείξουμε ότι:
Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση και εφαρμόζουμε σε αυτή Abel - Plana. Τότε έχουμε:
Άλλος τρόπος να αποδείξουμε το παραπάνω είναι μέσω μιγαδικής ανάλυσης. Το αφήνω για όποιον θέλει να το κάνει.
3. Ολοκλήρωμα Abel
Θα αποδείξουμε ότι:
Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση και εφαρμόζουμε σε αυτή Abel - Plana. Τότε έχουμε:
Άλλος τρόπος να αποδείξουμε το παραπάνω είναι μέσω μιγαδικής ανάλυσης. Το αφήνω για όποιον θέλει να το κάνει.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Τα παραπάνω τα έχω κάνει compile στο παρακάτω PDF μαζί και με κάποια επιπλέον παραδείγματα.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Απόδειξη. Ξεκινάμε με την ισότητα για κάθε . Tότε:
Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι έχουμε ότι:
Οπότε,
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Οικογένεια ολοκληρωμάτων Ahmed και Coxeter
Όλα τα παραπάνω πλέον έχουν γίνει compile στο αρχείο εδώ. Μπορείτε να το μεταφορτώσετε ελεύθερα από το σύνδεσμο.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 7 επισκέπτες