Φράγμα απόλυτης τιμής

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{\left | f\left ( \alpha + \beta \right ) - f \left ( \alpha \right ) \right | \leq \frac{\beta}{\alpha}}$
για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\alpha, \beta$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left | f(1) - f(x) \right | \leq \left |\ln x \right | \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x>0}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 22, 2020 6:49 pm
Έστω $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{\left | f\left ( \alpha + \beta \right ) - f \left ( \alpha \right ) \right | \leq \frac{\beta}{\alpha}}$
για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\alpha, \beta$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left | f(1) - f(x) \right | \leq \left |\ln x \right | \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x>0}$

Λίγο γενικότερα, για p>q>0

έχουμε από την τριγωνική ανισότητα και οποιοδήποτε

,

$\displaystyle{| f(p)-f(q)| \le \sum _{k=1}^n \left | f\left ( q+ \frac {k(p-q)}{n}\right ) -f\left ( q+ \frac {(k-1)(p-q)}{n}\right ) \right |\le \sum _{k=1}^n\dfrac { \dfrac {p-q}{n}}{q+ \dfrac {(k-1)(p-q)}{n}}}$

$\displaystyle{\to \int _q^p\dfrac {1}{t}dt = \ln \dfrac {p}{q}}$ (ως όριο αθροίσματος Riemann)

Φράγμα απόλυτης τιμής

Φράγμα απόλυτης τιμής

Re: Φράγμα απόλυτης τιμής

Μέλη σε σύνδεση