σ-άλγεβρα του Borel

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

σ-άλγεβρα του Borel

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Πέμ Φεβ 20, 2020 9:15 pm

Έστω \Omega = \mathbb{R} και B_{\mathbb{R}} η \sigma-άλγεβρα του Borel. Αν
\displaystyle{C_{1} = \{ (x,y] : x,y \in \mathbb{R} , x < y \} }
\displaystyle{C_{2} = \{ (x,y) : x,y \in \mathbb{R} , x < y \} }
\displaystyle{C_{3} = \{ (- \infty , x] : x \in \mathbb{R}} }
αποδείξτε ότι
B_{\mathbb{R}} = \sigma (C_{1}) = \sigma (C_{2}) =\sigma (C_{3}) .

B_{\mathbb{R}} = \sigma (\{ G \subset \mathbb{R} : G ανοιχτό \})
1) \ x<y \Rightarrow (x,y) ανοιχτό \Rightarrow (x,y) \in B_{\mathbb{R}} \Rightarrow \{(x,y) : x<y\} \subset B_{\mathbb{R}} \Rightarrow \sigma ( \{(x,y) : x<y\}) \subset B_{\mathbb{R}}.

G \subset \mathbb{R} ανοιχτό \Rightarrow G=\bigcup_{n=1}^{\infty} (a_{n}, b_{n}) \in \sigma ( \{(x,y) : x < y\}) \Rightarrow  \{G \subset \mathbb{R} : G ανοιχτό \} \subset \sigma (\{(x,y) : x< y\}) \Rightarrow B_{\mathbb{R}} \subset \sigma (\{(x,y) : x< y\}).
Άρα ισχύει η ισότητα.

Είμαι σωστός μέχρι τώρα; Και αν ναι, τότε θα συνεχίσω με παρόμοιο τρόπο;
Δηλαδή:

2) \ x<y \Rightarrow (x,y] = \bigcap_{n=1}^{\infty} (x,y+\frac{1}{n}) \in B_{\mathbb{R}} \Rightarrow ...

3) x \in \mathbb{R} \Rightarrow (-\infty, x] = \bigcap_{n=1}^{\infty} (- \infty ,x+\frac{1}{n}) \in B_{\mathbb{R}} \Rightarrow ...



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12303
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: σ-άλγεβρα του Borel

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Φεβ 20, 2020 9:52 pm

Όλα σωστά αλλά ας προσθέσω ότι υπάρχουν ως θεωρία σε όλες ανεξαιρέτως τις Θεωρίες Μέτρου. Ορθότατα θεωρούνται άμεσα, σχεδόν προφανή, από όλους τους συγγραφείς ή διδάσκοντες.


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: σ-άλγεβρα του Borel

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Πέμ Φεβ 20, 2020 9:57 pm

Σας ευχαριστώ πολύ! Με την ευκαιρία, έχετε να μου προτείνετε κάποιο συγκεκριμένο σύγγραμμα ή pdf paper που αφορά τη θεωρία μέτρου;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12303
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: σ-άλγεβρα του Borel

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Φεβ 20, 2020 10:14 pm

lefsk έγραψε:
Πέμ Φεβ 20, 2020 9:57 pm
Σας ευχαριστώ πολύ! Με την ευκαιρία, έχετε να μου προτείνετε κάποιο συγκεκριμένο σύγγραμμα ή pdf paper που αφορά τη θεωρία μέτρου;
Όλα τα κυκλοφορούντα βιβλία Θεωρίας Μέτρου (με τίτλους όπως Measure Theory ή Real Analysis ή Theory of Integration) είναι καλά.

Ένα στάνταρ και προσιτό είναι του Royden εδώ. Καλό επίσης, για πρώτο διάβασμα, το Bartle, Elements of Integration.


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: σ-άλγεβρα του Borel

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Πέμ Φεβ 20, 2020 10:32 pm

Ευχαριστώ πολύ! Καλό σας βράδυ!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες