Σελίδα 1 από 1

Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 19, 2020 11:02 pm
από lefsk
Είναι εύκολο να καταλάβω αν \alpha είναι άλγεβρα ή ημιδακτύλιος?
Έστω \alpha \subset P(\Omega) ( P(\Omega) δυναμοσύνολο του \Omega ) :  A, B\in \alpha \Rightarrow A\cup B \in \alpha, A \cap B \in \alpha. Η \alpha είναι άλγεβρα ή ημιδακτύλιος?

Ξέρω ότι αν \Omega \neq \varnothing και \alpha \subset P(\Omega) τότε
\alpha -άλγεβρα \Leftrightarrow

i) \Omega \in \alpha\Omega , \varnothing \in \alpha)

ii) A \in \alpha \Rightarrow A^{c} \in \alpha

iii) A \in \alpha \Rightarrow A \cup B \in \alpha (\Leftarrow) A \cap B \in \alpha

(ή αν A_{i} \in \alpha ,i=1,2,...,n \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \in \alpha)


Ξέρω, επίσης, ότι \alpha \subset P(\Omega) λέγεται ημιδακτύλιος αν:

i) A, B \in \alpha \Rightarrow A \cap B \in \alpha

ii) A, B \in \alpha \Rightarrow υπάρχει πεπερασμένη οικογένεια \begin{Bmatrix} 
A_{j}, j=1,2,...,n 
\end{Bmatrix} με A_{j} \in \alpha για κάθε j και A_{j} \cap A_{k} = \varnothing για κάθε  j \neq k: A-B = \bigcup_{j=1}^{n}A_{j}

Οπότε δεν έχω αρκετές πληροφορίες για να πω ότι \alpha είναι άλγεβρα αλλά έχω αρκετά στοιχεία για να πω ότι \alpha είναι ημιδακτύλιος;

Re: Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 20, 2020 3:48 pm
από Demetres
Για να δείξεις ότι είναι άλγεβρα/ημιδακτύλιος θες απόδειξη. Για να δείξεις ότι δεν είναι θες αντιπαράδειγμα.

Εδώ έχουμε και στα δύο αντιπαράδειγμα αν πάρουμε \alpha = \{\Omega\}. Είναι αντιπαράδειγμα επειδή ικανοποιεί τα δεδομένα αλλά \emptyset \notin A.

Re: Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 20, 2020 8:47 pm
από lefsk
\alpha = \{ \Omega \} .

\Omega, \Omega \in \alpha \Rightarrow \Omega \cup \Omega = \Omega \in \alpha και

\Omega \cap \Omega = \Omega \in \alpha .

Αλλά \varnothing = \Omega^{c} \notin \alpha

Άρα \alpha δεν είναι ούτε άλγεβρα ούτε ημιδακτύλιος.