$\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

MathSc
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

$\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Δευ Φεβ 17, 2020 2:26 pm

Γεια σας! Διαβάζω για το \lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n} , όπου (A_{n})_{n} ακολουθία υποσυνόλων του συνόλου \Omega και κολλάω λίγο στην εύρεσή τους. Συγκεκριμένα:
i) Αν A_{n}\cap A_{m} = \varnothing , n\neq m

Εγώ ξέρω ότι \lim_{n} \inf A_{n}= \bigcup_{n}(\bigcap_{k\geqslant n}A_{k})=(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap ...) \cup(A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap ...) \cup ... και αφού A_{n}\cap A_{m} = \varnothing , n\neq m τότε όλες οι παρενθέσεις είναι κενές, άρα \lim_{n} \inf A_{n}= \varnothing.
Αντίστοιχα το \lim_{n} \sup A_{n}= \bigcap_{n}(\bigcup_{k\geqslant n}A_{k})=(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup ...) \cap(A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} \cup ...) \cap ...
Εγώ ξέρω ότι το \lim_{n} \sup A_{n} αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν στο A_{n} για άπειρα πολλά n. Όμως η απάντησή μου ποια είναι; ότι \lim_{n} \sup A_{n} = \Omega ;

ii)Αν \Omega =\mathbb{R} , A_{2p}=[-1,2+\frac{1}{2p}) , A_{2p+1}=(-2-\frac{1}{2p+1},1], για κάθε p\in \mathbb{N}
εδώ το χάνω τελείως, θα χρειαστώ μια υπόδειξη. Πήγα να βρω κάποια αρχικά A_{i} μήπως και βγάλω άκρη αλλά τίποτα.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων (δεν είμαι σίγουρος αν έβαλα την ερώτησή μου στην σωστή ενότητα)
τελευταία επεξεργασία από MathSc σε Δευ Φεβ 17, 2020 4:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Φεβ 17, 2020 3:46 pm

MathSc έγραψε:
Δευ Φεβ 17, 2020 2:26 pm

Εγώ ξέρω ότι το \lim_{n} \sup A_{n} αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν στο A_{n} για άπειρα πολλά n. Όμως η απάντησή μου ποια είναι; ότι \lim_{n} \sup A_{n} = \Omega ;
Επειδή η απάντηση είναι άμεση από αυτά που γράφεις, θα δώσω μόνο την τελική απάντηση με την ελπίδα να μπορέσεις να το λύσεις μόνος σου. Α λύση είναι μισή γραμμή.

Απάντηση: Το limsup είναι το κενό σύνολο.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 634
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Φεβ 17, 2020 4:10 pm

MathSc έγραψε:
Δευ Φεβ 17, 2020 2:26 pm
Γεια σας! Διαβάζω για το \lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n} , όπου (A_{n})_{n} ακολουθία υποσυνόλων του συνόλου \Omega και κολλάω λίγο στην εύρεσή τους. Συγκεκριμένα:
i) Αν A_{n}\cap A_{m} = \varnothing , n\neq m

Εγώ ξέρω ότι \lim_{n} \inf A_{n}= \bigcup_{n}(\bigcap_{k\geqslant n}A_{k})=(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap ...) \cup(A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap ...) \cup ... και αφού A_{n}\cap A_{m} = \varnothing , n\neq m τότε όλες οι παρενθέσεις είναι κενές, άρα \lim_{n} inf A_{n}= \varnothing.
Αντίστοιχα το \lim_{n} \sup A_{n}= \bigcap_{n}(\bigcup_{k\geqslant n}A_{k})=(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup ...) \cap(A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} \cup ...) \cap ...
Εγώ ξέρω ότι το \lim_{n} \sup A_{n} αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν στο A_{n} για άπειρα πολλά n. Όμως η απάντησή μου ποια είναι; ότι \lim_{n} \sup A_{n} = \Omega ;

ii)Αν \Omega =\mathbb{R} , A_{2p}=[-1,2+\frac{1}{2p}) , A_{2p+1}=(-2-\frac{1}{2p+1},1], για κάθε p\in \mathbb{N}
εδώ το χάνω τελείως, θα χρειαστώ μια υπόδειξη. Πήγα να βρω κάποια αρχικά A_{i} μήπως και βγάλω άκρη αλλά τίποτα.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων (δεν είμαι σίγουρος αν έβαλα την ερώτησή μου στην σωστή ενότητα)
Στο σωστό φάκελο είσαι.

Έστω x\in \lim_{n} \inf A_{n}. Τότε x\in \bigcup_{n}(\bigcap_{k\geqslant n}A_{k}).

Στην άλλη άσκηση δεν καταλαβαίνω τι ζητάς.

Άρα υπάρχει n_0 ώστε x\in \bigcap_{k\geqslant n_0}A_{k} συνεπάγεται x\in \varnothing .

Επομένως \lim_{n} \inf A_{n}=\varnothing .

Για το \lim_{n} \sup A_{n} χρειάζεσαι ότι τα A_n διαμερίζουν τον \Omega για να βγει άκρη.

Τότε αν x\in \lim_{n} \sup A_{n} παίρνουμε x\in \bigcap_{n}(\bigcup_{k\geqslant n}A_{k}) για κάθε

n. Άρα x\in \bigcup_{k\geqslant n}A_{k} για κάθε n.

Όμως \bigcup_{k\geqslant n}A_{k}= \left (\bigcup_{k\leqslant n-1}A_{k} \right )^c.

Τελικά x \notin\Omega\Rightarrow x \in\varnothing . Άρα \lim_{n} \sup A_{n}=\varnothing.


MathSc
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Δευ Φεβ 17, 2020 4:34 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Φεβ 17, 2020 4:10 pm

Στην άλλη άσκηση δεν καταλαβαίνω τι ζητάς.
Στην περίπτωση ii μου δίνεται αυτό

Αν \Omega =\mathbb{R} , A_{2p}=[-1,2+\frac{1}{2p}) , A_{2p+1}=(-2-\frac{1}{2p+1},1], για κάθε p\in \mathbb{N}

και πρέπει πάλι να βρω \lim_{n} \inf A_{n}, \lim_{n} \sup A_{n}


MathSc
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Παρ Αύγ 31, 2018 5:46 pm

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από MathSc » Δευ Φεβ 17, 2020 4:36 pm

Σας ευχαριστώ και τους 2 για το ερώτημα i. Πιστεύω το κατάλαβα, θα το προσπαθήσω ξανά.


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Πέμ Φεβ 20, 2020 2:48 am

Σχετικά με το ερώτημα 2 που δεν έχει απαντηθεί.
Η ερώτηση προφανώς είναι να υπολογισθούν τα \lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n} στην περίπτωση:
 \Omega =\mathbb{R} , A_{2p}=[-1,2+\frac{1}{2p}) , A_{2p+1}=(-2-\frac{1}{2p+1},1] για κάθε p\in \mathbb{N}

\bigcap_{n=1}^{\infty } [-1,2+\frac{1}{2n}) = [-1,2]

\bigcap_{n=1}^{\infty } (-2-\frac{1}{2n+1},1] = [-2,1]

\lim_{n}\sup A_{n} = \{ x \in \mathbb{R} : x \in A_{n} για άπειρα n\} = [-2,2]

Πράγματι, x > 2 \Rightarrow \exists n_{0} \in \mathbb{N}: 2 + \frac{1}{2n} < x , \forall n \geq n_{0} \Rightarrow x \notin A_{n} \forall n \geq n_{0} \Rightarrow x \notin \lim_{n}\sup A_{n}

x < -2 \Rightarrow \exists n_{0} \in \mathbb{N}: x < -2 - \frac{1}{2n+1}  , \forall n \geq n_{0} \Rightarrow x \notin A_{n} \forall n \geq n_{0} \Rightarrow x \notin \lim_{n}\sup A_{n}

Αν x \in [-2,2] , τότε:

x \in [-2,-1] \Rightarrow x \in A_{2n+1} \forall n \in \mathbb{N}

x \in [-1,1] \Rightarrow x \in A_{n} \forall n \in \mathbb{N}

x \in [1,2] \Rightarrow x \in A_{2n} \forall n \in \mathbb{N}

άρα x \in \lim_{n}\sup A_{n}.

 \lim_{n} \inf A_{n}= \{ x \in \mathbb{R} : x \in A_{n} τελικά \} = [-1,1] , έλεγξε το.

Διορθώστε με για οποιοδήποτε λάθος!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 2 επισκέπτες