Όριο

mick7 · #1

Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n})^n$

#2

Εύκολο...
$\begin{aligned} \lim_{n\to+\infty}\Big(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)^n&=\exp\Big(\lim_{n\to+\infty}n\,\ln\big(e^{\frac{1}{n}}+\tfrac{1}{n}\big)\Big)\\ &=\exp\Big(\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln\big(e^{\frac{1}{n}}+\tfrac{1}{n}\big)}{\frac{1}{n}}\Big)\\ &\stackrel{\frac{0}{0}\,*}{=}\exp\Big(\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}+1}{n^2\big(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\big)}\,n^2\Big)\\ &=\exp\Big(\lim_{n\to+\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}+1}{e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}}\Big)\\ &=\exp(2)\\ &=e^2\,. \end{aligned}$

(*) Με την προϋπόθεση ότι θα αιτιολογηθεί σωστά η εφαρμογή του κανόνα L'Hospital.

#3

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 11, 2020 5:37 pm
Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n})^n$

Και αλλιώς: Με χρήση σειρών Taylor ο λογάριθμος της παράστασης ισούται

$\displaystyle{ n\ln \left (e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right ) = n \ln \left ( 1 + \frac{1}{n} +O\left ( \dfrac {1}{n^2}\right ) + \frac{1}{n}\right ) = n \ln \left ( 1 + \frac{2}{n} +O\left ( \dfrac {1}{n^2}\right ) \right ) = n \left ( \frac{2}{n} + O\left ( \dfrac {1}{n^2}\right ) \right ) = }$

$\displaystyle{= 2+O\left ( \dfrac {1}{n}\right ) \to 2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 11, 2020 5:37 pm
Να υπολογιστεί το

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n})^n$

Για να το δούμε μόνο με ακολουθίες.
Από τον ορισμό του

εχουμε
$\displaystyle (1+\frac{1}{n})^{n}< e< (1+\frac{1}{n-1})^{n},n\geq 2$
οπότε είναι
$\displaystyle 1+\frac{2}{n}< e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}< 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}< 1+\frac{2}{n-1}$
Αν την τελευταία την υψώσουμε στην

και πάρουμε όρια βρίσκουμε το ζητούμενο όριο

#5

Και αλλιώς: Με χρήση του $\displaystyle{(1+1/x)^x \to e}$ καθώς $x\to \infty$

$\displaystyle{\Big(e^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\Big)^n= e\Big(1+\frac{1}{ne^{\frac{1}{n}}}\Big)^n = e\Big ( \Big(1+\frac{1}{ne^{\frac{1}{n}}}\Big)^{ne^{\frac{1}{n}}}\Big )^{e^{-\frac{1}{n}}}} \to e (e)^{e^0}=e^2 }$

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση