Διπλή σειρά

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Διπλή σειρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Φεβ 06, 2020 9:39 am

Να υπολογιστεί το άθροισμα:

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{\substack{n=1 \\ m \neq n}}^{\infty}  \frac{1}{m^2-n^2}}
Άνευ λύσης!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διπλή σειρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 06, 2020 1:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Φεβ 06, 2020 9:39 am
Να υπολογιστεί το άθροισμα:

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{\substack{n=1 \\ m \neq n}}^{\infty}  \frac{1}{m^2-n^2}}
Άνευ λύσης!!
Η σειρά φαίνεται να έχει άθροισμα 0 γιατί φεύγουν.
Δεν είναι σωστό γιατί δεν συγκλίνει απόλυτα.

Από την άλλη αν θέσουμε

\displaystyle f(m)=\sum_{n=1}^{\infty }'\frac{1}{m^{2}-n^{2}}

οπου ο ' σημαίνει ότι n\neq m

τότε ένας υπολογισμός δίνει ότι

\displaystyle f(m)=-\frac{1}{2m^{2}}-\frac{1}{4m^{2}}

και έτσι εύκολα υπολογίζουμε το

\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty }f(m)

αφού

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}

Εκανα γρήγορα τις πράξεις.
Θα τις ελέγξω ξανά και αν χρειασθεί θα επανέλθω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης