Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11803
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 29, 2019 7:03 pm

Έστω f:[0,1] \longrightarrow \mathbb R συνεχής συνάρτηση και έστω (a_n) συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του [0,1] , με \lim a_n=a. Δείξτε ότι αν a\ne 0 τότε

\displaystyle{\lim \int _0^1f(a_nx)\,dx = \dfrac {1}{a} \int _0^af(x)\,dx}

ενώ αν a=0 τότε το εν λόγω όριο είναι f(0).

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες σε φοιτητές. Η άσκηση είναι απλή και βγαίνει με γνώσεις πρωτοετών φοιτητών, οπότε θέλουμε να αποφύγουμε τα βαριά εργαλεία. Η ιδέα είναι να εργαστούμε με ¨έψιλον". )



Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Κυρ Δεκ 29, 2019 7:56 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 7:03 pm
Έστω f:[0,1] \longrightarrow \mathbb R συνεχής συνάρτηση και έστω (a_n) συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του [0,1] , με \lim a_n=a. Δείξτε ότι αν a\ne 0 τότε

\displaystyle{\lim \int _0^1f(a_nx)\,dx = \dfrac {1}{a} \int _0^af(x)\,dx}

ενώ αν a=0 τότε το εν λόγω όριο είναι f(0).

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες σε φοιτητές. Η άσκηση είναι απλή και βγαίνει με γνώσεις πρωτοετών φοιτητών, οπότε θέλουμε να αποφύγουμε τα βαριά εργαλεία. Η ιδέα είναι να εργαστούμε με ¨έψιλον". )
Νομίζω πως δεν χρειάζεται να δουλέψουμε με έψιλον, με μια αλλαγή μεταβλητής:

\displaystyle{\int_{0}^{1}f(a_{n}x)dx=\frac{1}{a_{n}}\int_{0}^{a_{n}}f(x)dx=\frac{F(a_{n})}{a_{n}}}

Όπου: \displaystyle{F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt}

Αν τώρα a>0, η F είναι συνεχής άρα:

\displaystyle{F(a_{n})\rightarrow F(a)} από αρχή μεταφοράς και το ζητούμενο έπεται.

Αν πάλι a=0 το ζητούμενο όριο δεν είναι παρά η παράγωγος στο 0 της F, δηλαδή με άλλα λόγια, το f(0) .


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2787
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Δεκ 29, 2019 8:16 pm

sot arm έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 7:56 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 7:03 pm
Έστω f:[0,1] \longrightarrow \mathbb R συνεχής συνάρτηση και έστω (a_n) συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του [0,1] , με \lim a_n=a. Δείξτε ότι αν a\ne 0 τότε

\displaystyle{\lim \int _0^1f(a_nx)\,dx = \dfrac {1}{a} \int _0^af(x)\,dx}

ενώ αν a=0 τότε το εν λόγω όριο είναι f(0).

(Ας την αφήσουμε 24 ώρες σε φοιτητές. Η άσκηση είναι απλή και βγαίνει με γνώσεις πρωτοετών φοιτητών, οπότε θέλουμε να αποφύγουμε τα βαριά εργαλεία. Η ιδέα είναι να εργαστούμε με ¨έψιλον". )
Νομίζω πως δεν χρειάζεται να δουλέψουμε με έψιλον, με μια αλλαγή μεταβλητής:

\displaystyle{\int_{0}^{1}f(a_{n}x)dx=\frac{1}{a_{n}}\int_{0}^{a_{n}}f(x)dx=\frac{F(a_{n})}{a_{n}}}

Όπου: \displaystyle{F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt}

Αν τώρα a>0, η F είναι συνεχής άρα:

\displaystyle{F(a_{n})\rightarrow F(a)} από αρχή μεταφοράς και το ζητούμενο έπεται.

Αν πάλι a=0 το ζητούμενο όριο δεν είναι παρά η παράγωγος στο 0 της F, δηλαδή με άλλα λόγια, το f(0) .
Σωστά.
Η απόδειξη του Σωτήρη δεν χρησιμοποιεί την συνέχεια της f όταν a\neq 0.
Το ολοκλήρωμα μπορεί να είναι Riemann η Lebesgue.
Για a=0 χρειάζεται η συνέχεια μόνο στο 0 ώστε να παραγωγίζεται το ολοκλήρωμα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11803
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Δεκ 29, 2019 8:43 pm

Θαυμάσια. Αυτό που είχα κατά νου ήταν να δούμε έναν συλλογισμό με έψιλον, ως εξάσκηση σε αυτό το θέμα. Συγκεκριμένα:

Για \epsilon >0 έστω \delta >0 εκείνο που μας δίνει η ομοιόμορφη συνέχεια. Έστω n_0 τέτοιο ώστε |a_n-a| < \delta για n \ge n_0. Γι' αυτά τα n και για κάθε x\in [0,1] έχουμε

\displaystyle{|a_nx-ax| \le |a_n-a| < \delta} άρα \displaystyle{|f(a_nx)-f(ax)| < \epsilon }, ή αλλιώς \displaystyle{f(ax)- \epsilon < f(a_nx) < f(ax)+\epsilon}.

Ολοκληρώνουμε τώρα την ανισότητα, και λοιπά.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Κυρ Δεκ 29, 2019 9:17 pm

Βάζω και μία γενίκευση:

Έστω: \displaystyle{\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}, f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} } Lebesgue ολοκληρώσιμες, με:

\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}|f_{n}(x)-f(x)|d\lambda x \rightarrow 0}

Έστω επίσης \displaystyle{\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty},A } μετρήσιμα με \lambda (A_{n}\bigtriangleup A) \rightarrow 0.

Να δειχθεί ότι: \displaystyle{\int_{A_{n}}f_{n}d\lambda \rightarrow \int_{A}f d\lambda }

Η προηγούμενη προκύπτει θεωρώντας f_{n}(x)=f(x) και A_{n}=[0,a_{n}], A=[0,a] .


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης