Ολοκλήρωμα και αρμονικός αριθμός

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 613
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Ολοκλήρωμα και αρμονικός αριθμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Δεκ 27, 2019 1:23 am

Μου προέκυψε το παρακάτω κατά την επίλυση ενός προβλήματος.

Να δείξετε ότι για n=1,2,3,... ισχύει

\displaystyle n\int_{0}^{+\infty }x e^{-x}\left ( 1-e^{-x} \right )^{n-1}dx=H_n, όπου \displaystyle H_n =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+....



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα και αρμονικός αριθμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Δεκ 27, 2019 4:58 pm

Έχουμε

\displaystyle  I_n =n\int_{0}^{\infty}   xe^{-x} \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\binom{n-1}{k}e^{-kx}\,\mathrm{d}x =  n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \binom{n-1}{k}\int_{0}^{\infty}   xe^{-(k+1)x}\,\mathrm{d}x

Όμως

\displaystyle \int_{0}^{\infty}   xe^{-(k+1)x} \,\mathrm{d}x = \left[-\frac{xe^{-(k+1)x}}{k+1} \right]_0^{\infty} +\frac{1}{k+1}\int_{0}^{\infty}   e^{-(k+1)x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{(k+1)^2}

Άρα

\displaystyle  I_n= n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{(k+1)^2} \binom{n-1}{k} = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{k+1} \binom{n}{k+1}

Έχουμε

\displaystyle \begin{aligned} 
I_n - I_{n-1} &= \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \sum_{k=0}^{n-2} \frac{(-1)^k}{k+1}\left[\binom{n}{k+1} - \binom{n-1}{k+1}\right] \\ 
&=  \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \sum_{k=0}^{n-2} \frac{(-1)^k}{k+1}\binom{n-1}{k} \\ 
&= \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-2} (-1)^k \binom{n}{k+1} \\ 
&= \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \frac{(1-1)^n + 1 - (-1)^{n-1}}{n} = \frac{1}{n} 
\end{aligned}

Αφού τέλος είναι I_1 = 1 (από πιο πάνω τύπο) τότε παίρνουμε και I_n = H_n όπως θέλαμε να δείξουμε.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11924
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα και αρμονικός αριθμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 27, 2019 9:04 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Παρ Δεκ 27, 2019 1:23 am
Μου προέκυψε το παρακάτω κατά την επίλυση ενός προβλήματος.

Να δείξετε ότι για n=1,2,3,... ισχύει

\displaystyle n\int_{0}^{+\infty }x e^{-x}\left ( 1-e^{-x} \right )^{n-1}dx=H_n, όπου \displaystyle H_n =1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+....
Λίγο αλλιώς: Η αλλαγή μεταβλητής \displaystyle{  1-e^{-x}=y} δίνει \displaystyle{ e^{-x}\frac {dx} {dy}=1}, άρα το ολοκλήρωμα ισούται

\displaystyle{ - n\int_{0}^{1 }\ln (1-y) y^{n-1}dy =n \int_{0}^{1 }\sum _1^{\infty} \dfrac {1}{k} y^ky^{n-1}dy= n \sum _1^{\infty} \int_{0}^{1 }\dfrac {1}{k} y^{k+n-1}dy = n \sum _1^{\infty} \dfrac {1}{k(k+n)} = }

\displaystyle{ =  \sum _1^{\infty} \left ( \dfrac {1}{k} - \dfrac {1}{k+n} \right ) = H_n} (η τελευταία ισότητα τηλεσκοπικά: φεύγουν όλοι οι όροι εκτός από τους πρώτους n).


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 613
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ολοκλήρωμα και αρμονικός αριθμός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Δεκ 27, 2019 10:00 pm

Όμορφα!

Η λύση μου συμπίπτει με του κ.Δημήτρη.

Η δεύτερη αρκετά σύντομη. Δεν την πρόσεξα.

Υπάρχει και άλλη λύση με πιθανότητες.

Το ολοκλήρωμα είναι η μέση τιμή της μέγιστης από n

ισοκαταναμεμημένες ~  Exp(1) και ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.

Θα την γράψω σύντομα.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 613
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ολοκλήρωμα και αρμονικός αριθμός

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Δεκ 28, 2019 8:23 pm

Ας συμπληρώσω τη λύση που υποσχέθηκα, μιας και την έκανα.

Έστω τυχαίες μεταβλητές Y_1,Y_2,...,Y_n οι οποίες είναι ανεξάρτητες και εκθετικά κατανεμημένες με παράμετρο 1

δηλαδή με κατανομή F(t)=1-e^{-t},t>0 και αντίστοιχη πυκνότητα f(t)=e^{-t},t>0.

Θεωρούμε τώρα τις διατεταγμένες τυχαίες μεταβλητές X_1,X_2,...,X_n όπου ώς X_1(\omega ),X_2(\omega ),...,X_n(\omega )

έχουμε θεωρήσει το σύνολο των Y_1(\omega ),Y_2(\omega ),...,Y_n(\omega ) μετά από μετάθεση ώστε

να βρίσκεται σε αύξουσα διάταξη, δηλαδή X_1<X_2<...<X_n.

Η πυκνότητα της X_n=\max\left ( Y_i,i=1,2,...,n \right ) προκύπτει τώρα ως εξής:

Σε (μικρό) διάστημα \Delta x η πιθανότητα η X_n να ανήκει στο (x-\Delta x,x+\Delta x),

και οι υπόλοιπες αριστερά από αυτό το διάστημα, είναι (προσεγγιστικά)

\displaystyle f_{X_n}(x)\Delta x \approx \dfrac{n!}{1!(n-1)!} \left ( \int_{0}^{x-\Delta x} f(t)dt\right )^{n-1}\left (\int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x}f(t)dt \right )=

\displaystyle n\left ( \int_{0}^{x-\Delta x} 1-e^{-t}dt\right )^{n-1}\left (\int_{x-\Delta x}^{x+\Delta x}e^{-t}dt \right )

όπως το πλήθος των τρόπων να επιλέξουμε 1 από τις n \left (= \binom{n}{1} \right )

τυχαίες μεταβλητές Y_i και να την βάλουμε στη θέση της μέγιστης επί τις πιθανότητες η μέγιστη να

πέσει στο διάστημα που αναφέραμε και οι υπόλοιπες πριν. Διαιρώντας με \Delta x και έπειτα παίρνοντας

\Delta x\rightarrow 0, εκμεταλλευόμενοι τη συνέχεια της εκθετικής, βρίσκουμε

\displaystyle f_{X_n}(x)=nf(x)\left (F(x) \right )^{n-1}=ne^{- x}(1-e^{-x})^{n-1}.

Μπορούμε να αποφύγουμε τα \Delta x και να δώσουμε μια πιο αυστηρή απόδειξη αλλά αυτός ο τρόπος είναι

πιο διαισθητικός.

Το ολοκλήρωμα της εκφώνησης εύκολα μπορούμε να δούμε τώρα ότι είναι η E(X_n).

Εφαρμόζοντας παρόμοιο σκεπτικό, η από κοινού κατανομή των X_1,X_2,...,X_n

είναι f(x_1,x_2,...,x_n)=n!f(x_1)f(x_2)...f(x_n),0<x_1<x_2<...<x_n.

Εδώ απλά έχουμε n! τρόπους για να μεταθέσουμε τις Y_i και κάθε μια από αυτές

να τις τοποθετήσουμε στα (ξένα μεταξύ τους) (x_i-\Delta x_i,x_i+\Delta x_i)

με τις κατάλληλες πιθανότητες . Έπειτα παίρνουμε \Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\rightarrow 0.

Η ιδέα μου τώρα ήταν να δούμε αν μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τη γραμμικότητα της μέσης τιμής εκφράζοντας την

X_n σαν άθροισμα τυχαίων μεταβλητών. Αυτό είναι δυνατό αρκεί να παρατηρήσουμε το εξής:

f(x_1,x_2,...,x_n)=n!f(x_1)f(x_2)...f(x_n)=n!e^{-x_1}e^{-x_2}...e^{-x_n}=

ne^{-n x_1}(n-1)e^{-(n-1) (x_2-x_1)}(n-2)e^{-(n-2) (x_3-x_2)}...e^{-1(x_n-x_{n-1})}

δηλαδή η από κοινού πυκνότητα των X_i εκφράζεται σαν από κοινού πυκνότητα ανεξάρτητων και ισόνομων

τυχαίων μεταβλητών Z_i με εκθετική κατανομή παραμέτρου i.

Επομένως η περιθώρια f_{X_n}(x_n)=ne^{-x}(1-e^{-x})^{n-1} μπορεί να εκφραστεί ως

\displaystyle \int_{I} f(x_1,x_2,...x_n)dx_1dx_2...d_{x_{n-1}} όπου I=\left \{ x_i\in R^n:0<x_1<x_2<...<x_n<+\infty \right \}.

Το τελευταίο όμως δεν είναι τίποτα άλλο παρά η πυκνότητα της νιοστής συνέλιξης ανεξάρτητων εκθετικά

κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών. Εφαρμόζοντας τώρα τη γραμμικότητα έχουμε

E(X_n)=\sum_{i=1}^{n}E(Z_i)=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{i}=H_n.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης