Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Ανοίγω ένα θρεντ με ασκήσεις που λύνονται με χρήση αθροισμάτων Riemann.
Μερικές θα είναι αρκετά προσιτές (όχι όμως ρουτίνας) ενώ άλλες λίγο πιο απαιτητικές, αλλά θα αποφύγω τις ακρότητες ή
ασκήσεις από Ολυμπιάδες τύπου Putnam και λοιπά.
Απευθύνομαι κυρίως σε φοιτητές με γνώμονα να εξοικειωθούν με το άθροισμα Riemann, πέρα από τα προφανή.
Μερικές θα είναι αρκετά προσιτές (όχι όμως ρουτίνας) ενώ άλλες λίγο πιο απαιτητικές, αλλά θα αποφύγω τις ακρότητες ή
ασκήσεις από Ολυμπιάδες τύπου Putnam και λοιπά.
Απευθύνομαι κυρίως σε φοιτητές με γνώμονα να εξοικειωθούν με το άθροισμα Riemann, πέρα από τα προφανή.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 1
Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας
Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.
Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας
Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 2
Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:
Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 3
Με χρήση του αθροίσματος Riemann, να υπολογισθεί το , διαιρώντας το με σημεία που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Με χρήση του αθροίσματος Riemann, να υπολογισθεί το , διαιρώντας το με σημεία που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Διαμερίζουμε το σε ίσες διαμερίσεις πλάτους . Έχουμε τότε το δοθέν άθροισμα
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Δεκ 15, 2019 11:03 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Ας δούμε και άλλον ένα τρόπο για την Άσκηση 2. Εδώ το άθροισμα Riemann είναι κρυμμένο στην απόδειξη της ιδιότητας
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Δεκ 15, 2019 7:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 5
Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:
Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 6
Άσκηση 7
Να υπολογιστεί το όριο:
Σημείωση: Το όριο αυτό προτάθηκε από τον Norman Schaumberger το Μάρτιο του στο περιοδικό The College Mathematics Journal. Η γενίνευση αργότερα.
- Με τη βοήθεια του αθροίσματος Riemann να υπολογιστεί το όριο .
- Με τη βοήθεια του παραπάνω ορίου να δειχθεί ότι:
- Τέλος να δειχθεί ότι .
Άσκηση 7
Να υπολογιστεί το όριο:
Σημείωση: Το όριο αυτό προτάθηκε από τον Norman Schaumberger το Μάρτιο του στο περιοδικό The College Mathematics Journal. Η γενίνευση αργότερα.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Το πρώτο ισούταιTolaso J Kos έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 15, 2019 4:18 pmΆσκηση 6
- Με τη βοήθεια του αθροίσματος Riemann να υπολογιστεί το όριο .
- Με τη βοήθεια του παραπάνω ορίου να δειχθεί ότι:
- Τέλος να δειχθεί ότι .
To δεύτερο είναι επιτηδευμένη και άκομψη άσκηση αφού η παράσταση ισούται με , της οποίας οι δύο τελευταίοι παράγοντες τείνουν στο . Δηλαδή η άσκηση ανάγεται στο να βρούμε το όριο , το οποίο είναι η τρίτη ερώτηση. Με άλλα λόγια πρέπει να βρούμε το τρίτο όριο και από αυτό το δεύτερο, και όχι ανάποδα που τα ζητά η άσκηση.
Για το τρίτο όριο, ο λογάριθμος της παράστασης είναι , που είναι αυτό που βγάλαμε στο πρώτο βήμα. Και λοιπά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Από τις ανισότητες , το δοθέν άθροισμα είναι ο μεσαίος όρος στην διπλή ανισότητα
.
Τα δύο άκρα τείνουν στο , και λοιπά από ισοσυγκλίνουσες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Ξεχάστηκε (όπως και η Άσκηση 1).
Έστω , το οποίο αργότερα θα πάρουμε να . Κοιτάμε την διαμέριση (την οποία γράφω φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο) για κάποιο που εξαρτάται από το , με . To τελευταίο δίνει καθώς διότι η διαφορά του από το είναι
To τυπικό διάστημα είναι και το άθροισμα Riemann είναι
Βρήκαμε δηλαδή το γνωστό .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
To κάνω με τύπο Stirling που η απόδειξη του (Άσκηση 6) έγινε με άθροισμα Riemann.
Η ποσότητα είναι .
Επίσης είναι .
Από ισoσυγκλίνουσες το ζητούμενο όριο είναι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Θα ήθελα να ρωτήσω πώς μεταβαίνει ο κ. Λάμπρου στην άσκηση 2 στο ολοκλήρωμα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Συγνώμη για την καθυστερημένη απάντηση. Τώρα το είδα γιατί σχεδόν όλη μέρα είχα τρεχάματα.panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑Παρ Δεκ 27, 2019 8:00 amΘα ήθελα να ρωτήσω πώς μεταβαίνει ο κ. Λάμπρου στην άσκηση 2 στο ολοκλήρωμα.
Ο πιο εύκολος τρόπος να δεις το παραπάνω είναι μέσω του
που είναι το ίδιο με το ολοκλήρωμα που έγραψα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Επαναφορά η Άσκηση 1. Επίσης είναι αναπάντητη η Άσκηση 8.
Παροτρύνω τους φοιτητές μας να ασχοληθούν.
Παροτρύνω τους φοιτητές μας να ασχοληθούν.
Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Αφού υπήρξε και η παρότρυνση, βάζω μια λύση.Βγάζοντας κοινό παράγοντα το στο γινόμενο έχω:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 15, 2019 8:27 amΆσκηση 1
Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας
Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.
ο λογάριθμος της έκφρασης ισούται με:
και άρα η ακολουθία πάει στο .
Με μια κάποια επιφύλαξη γιατί έχω μια τάση στα αριθμητικά και δεν φαίνεται ιδιαίτερα κομψό το αποτέλεσμα.
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες