Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#41

Επαναφορά.

Tolaso J Kos · #42

Άσκηση 17

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{n+k}}$

#43

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 08, 2020 1:02 pm
Άσκηση 17

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{n+k}}$

Είναι ουσιαστικά ίδια με την άσκηση 2 (πλην δευτερεύουσας αλλαγής στα νούμερα). Είναι λυμένη στο ποστ #5 και δεύτερη λύση στο ποστ #7.

#44

Μένουν αναπάντητες οι $13,\,14$ και

.

#45

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:09 am
Έχω παρατηρήσει ότι μερικές από τις παραπάνω ασκήσεις εμπίπτουν στην εξής περίπτωση, την οποία θέτω ως άσκηση

Άσκηση 13

Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής και μονότονη συνάρτηση και έστω ακολουθία θετικών όρων με $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} a_n=0}$ . Τότε

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right )= \int _0^1 f(x)\,dx}$

(Ωραίο θέμα για διαγώνισμα. Γιατί δεν το είχα σκεφθεί παλαιότερα...)
(Η μονοτονία δεν χρειάζεται. Απλά κάνει την ζωή ευκολότερη αλλά η άσκηση είναι προσιτή έτσι και αλλιώς. Η μονοτονία χρησιμοποιεί λιγότερα εργαλεία).

Θα χρησιμοποιήσω ομοιόμορφη συνέχεια αλλά ως όφελος δεν θα χρησιμοποιήσω την υπόθεση ότι η

είναι μονότονη. Αν χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία η άσκηση γίνεται ευκολότερη και λύνεται χωρίς χρήση της ομοιόμορφης συνέχειας.

Έστω $\epsilon >0$ . Από ομοιόμορφη συνέχεια υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε για κάθε x,y

με $|x-y|< \delta$ είναι $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ .

Έστω τώρα n_0

τέτοιο ώστε για $n\ge n_0$ είναι $|a_n|<\delta$ . Για τέτοια

έχουμε $\displaystyle{f \left ( \dfrac {k}{n} \right ) -\epsilon< f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right ) < f \left ( \dfrac {k}{n} \right ) + \epsilon}$ . Αθροίζοντας είναι

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} \right ) -\epsilon < \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right ) < \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} \right )+ \epsilon }$ .

Δεδομένου τώρα ότι $\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} \right )\rightarrow \int _0^1 f(x)\,dx}}$ , εύκολα καταλήγουμε ότο το όριο

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right )$ υπάρχει και ότι ισούμε με $\displaystyle{ \int _0^1 f(x)\,dx}}$

#46

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:26 pm
Άσκηση 14

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sqrt [n] {\left(n+ d \right ) \left (n+ 2d \right ) \left (n+ 3d \right )\cdot ... \, \cdot \left (n+ nd)} \right )}}$ , όπου .

(Πρόκειται για δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης . Η ομοιότητα εκτός από οπτική, είναι βαθύτερη).

Μπορούμε να την κάνουμε απευθείας αλλά θα την κάνω με χρήση του έτοιμου αποτελέσματος της Άσκησης 9. Έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sqrt [n] {\left(n+ d \right ) \left (n+ 2d \right ) \left (n+ 3d \right )\cdot ... \, \cdot \left (n+ nd)} \right )}}$

$\displaystyle{ = \dfrac {1}{n} \sqrt [n] {d^n n^n\left(\dfrac {1}{d} + \dfrac {1}{n} \right ) \left (\dfrac {1}{d} + \dfrac {2}{n} \right ) \left (\dfrac {1}{d} + \dfrac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (\dfrac {1}{d} + \dfrac {n}{n} \right )}}}$

Αλλά από την Άσκηση 9 ζητάμε το

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 28, 2019 10:32 pm
Άσκηση 9

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \sqrt [n]{\left (c+ \frac {1}{n} \right ) \left (c+ \frac {2}{n} \right ) \left (c+ \frac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (c+ \frac {n}{n} \right )}}$ , όπου .

το οποίο είναι ουσιαστικά το ίδιο με το ζητούμενο αλλά με

αντί $\frac {1}{d}$ . Έχουμε όμως έτοιμη την απάντηση

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 11:31 pm

$\displaystyle a_n=e^{\ln a_n}\rightarrow e^ {\ln\frac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}}=\dfrac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}.$

οπότε το ζητούμενο ισούται με $d\cdot \dfrac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}= \dfrac {1}{e}(1+d)^{1+1/d}$

#47

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 16, 2020 11:22 pm
Άσκηση 16

Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \displaystyle{ \dfrac {1}{n^{a+1}} \left ( [1^ad]+[2^ad]+[3^ad]+...+[n^ad]\right )}$ , όπου και πραγματικός.

(το δηλώνει ακέραιο μέρος.)

Με χρήση της $k^ad -1 \le [k^ad] < k^ad$ και αθροίζοντας έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {d}{n} \sum _{k=1}^{n} \left (\dfrac {k}{n} \right ) ^a - \dfrac {n}{n^{a+1}}\le \sum _{k=1}^{n} \dfrac {[k^ad]}{n^{a+1}}\le \dfrac {d}{n} \sum _{k=1}^{n} \left (\dfrac {k}{n} \right ) ^a }$

Παίρνοντας όριο $n\to \infty$ και επειδή τα δύο άκρα έχουν κοινό όριο $\displaystyle{d\int _0^1x^adx= \dfrac {d}{a+1}}$ , έπεται ότι το ζητούμενο όριο είναι $\displaystyle{ \dfrac {d}{a+1}}$ .

Tolaso J Kos · #48

Δύο δύσκολες κατά τη γνώμη μου ....

Άσκηση 18

Έστω p_n

ο

-οστός πρώτος και

συνεχής συνάρτηση Riemann ολοκληρώσιμη στο (0, 1)

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left (\frac{p_k}{p_n} \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Άσκηση 19

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής περιοδική συνάρτηση με περίοδο

και $\alpha$ ένας άρρητος αριθμός. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left ( k \alpha \right ) = \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x}$

Tolaso J Kos · #49

Άσκηση 20

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^{n} \frac{n+1 + \sqrt{nk}}{n + \sqrt{nk}}}$ .

Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση