Γενίκευση τοῦ Θεμελιώδους Θεωρήματος τοῦ Ἀπειροστικοῦ

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ διαφορίσιμη. Ἂν ἡ εἶναι τοπικῶς ὁλοκληρώσιμη Lebesgue, τὸτε διὰ κάθε
$a,b\in\mathbb R$ ἰσχύει ὅτι

$\displaystyle{ \int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a). }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Είναι γνωστό Θεώρημα. Ισχύει και στην περίπτωση που η παράγωγος υπάρχει εκτός ενός αριθμήσιμου συνόλου. Είναι αληθές ότι σοβαρά βιβλία Θεωρίας Μέτρου δεν το έχουν. Το θεώρημα υπάρχει στο βιβλίο των Σ.Κουμουλλή Σ.Νεγρεπόντη Θεωρία Μέτρου εκδόσεις Συμμετρία Αθήνα 2005.7.19 Θεώρμα σελ 94 και στο τέλος του βιβλίου για το αριθμήσιμο. Χρησιμοποιεί ημισυνεχείς συναρτήσεις.Γνωρίζω ενδιαφέρουσα απόδειξη διαφορετική από τις παραπάνω.Με την πρώτη ευκαιρία θα την γράψω.Τα πράγματα απλοποιούνται αν υποθέσουμε ότι η παράγωγος είναι φραγμένη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 10, 2019 11:59 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ διαφορίσιμη. Ἂν ἡ εἶναι τοπικῶς ὁλοκληρώσιμη Lebesgue, τὸτε διὰ κάθε
$a,b\in\mathbb R$ ἰσχύει ὅτι

$\displaystyle{ \int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a). }$

Θα δείξουμε το εξής ισχυρότερο .
Αν $f:[a,b]\to\mathbb R$ είναι συνεχής ,παραγωγίσημη εκτός ενός αριθμήσιμου συνόλου

και η

είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη
τότε $\displaystyle{ \int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a). }$

Χρειαζόμαστε τα εξής λήμματα
1)Εστω $E\subseteq [a,b]$
μέτρου

.
Υπάρχει $s:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής αύξουσα ώστε
$x\in E\Rightarrow s'(x)=\infty$

2)Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$
συνεχής .
Θέτουμε
$D_{-}f(x)=lim inf_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Αν
$x\in [a,b]-A\Rightarrow D_{-}f(x)\geq 0$

όπου

αριθμήσιμο σύνολο

να δειχθεί ότι η

είναι αύξουσα.

Αυτά βρίσκονται στα
viewtopic.php?f=200&t=65857
viewtopic.php?f=200&t=65856

Θέτουμε
$\displaystyle g_{n}(x)=f'(x), if f'(x)\leq n,g_{n}(x)=n ,if f'(x)> n$
Είναι
$\displaystyle |g_{n}(x)|\leq |f'(x)|,x\in [a,b]-A$ (1)
Θεωρούμε την
$\displaystyle G_{n}(x)=\int_{a}^{x}g_{n}(t)dt$
Από το θεώρημα παραγώγισης του Lebesgue
είναι
$\displaystyle G'_{n}(x)=g_{n}(x),x\in [a,b]-A_{n}$
οπου το
$A_{n}$ εχει μέτρο

Από το λήμμα 1) υπάρχει συνεχής
$s:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$
αύξουσα ώστε
$x\in A_{n}\Rightarrow s'(x)=\infty$ .

Εστω $\epsilon>0$
Θέτουμε
$\displaystyle r_{n}(x)=f(x)-G_{n}(x)+\epsilon s(x)+\epsilon (x-a)$
Παρατηρώντας ότι για
$x\notin A$
είναι
$\displaystyle D_{-}G_{n}(x)\leq n$
έχουμε για
$x\notin A$

α) $x\notin A_n$
$\displaystyle D_{-}r_{n}(x)=f'(x)-g_{n}(x)+\epsilon D_{-}s(x)+\epsilon \geq 0$

β) $x\in A_{n}$
$\displaystyle D_{-}r_{n}(x)\geq f'(x)-n+\epsilon (\infty )+\epsilon \geq 0$

Αρα
$\displaystyle x\notin A\Rightarrow D_{-}r_{n}(x)\geq 0$
Λόγω του λήμματος 2 θα έχουμε
$\displaystyle r_{n}(b)\geq r_{n}(a)$
Επειδή το $\epsilon>0$ είναι οποιοδήποτε συμπεραίνουμε
ότι
$\displaystyle f(b)-f(a)\geq \int_{a}^{b}g_{n}(t)dt$
Επειδή
$\displaystyle g_{n}(x)\rightarrow f'(x)$
και λόγω της (1) το θεώρημα κυριαρχημένης του Lebesgue μας δίνει
$\displaystyle \int_{a}^{b}g_{n}(x)dx\rightarrow \int_{a}^{b}f'(x)dx$
Αρα
$\displaystyle f(b)-f(a)\geq \int_{a}^{b}f'(t)dt$
Αν στην τελευταία στην θέση της

βάλουμε την

παίρνουμε την ανάποδη
και τελικά
$\displaystyle f(b)-f(a)= \int_{a}^{b}f'(t)dt$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για να δούμε πως απλοποιείται η απόδειξη αν η παράγωγος είναι φραγμένη.
Δηλαδή

Αν $f:[a,b]\to\mathbb R$ είναι παραγωγίσημη με $|f'(x)|\leq M$

τότε $\displaystyle{\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a).}$

Απόδειξη.
Επεκτείνουμε την συνάρτηση στο [a,b+1]

ωστε να είναι συνεχής και με φραγμένη
παράγωγο.
Θέτουμε
$\displaystyle f_{n}(x)=n(f(x+\frac{1}{n})-f(x))$
Εχουμε ότι

$f_{n}(x)\rightarrow f'(x)$

κατά σημείο και λόγω Θ.Μ.Τ $\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M$
Από κυριαρχιμένης Lebesgue

$\displaystyle \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx\rightarrow \int_{a}^{b}f'(x)dx$ (1)

Επειδή

$\displaystyle \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx=n\int_{b}^{b+\frac{1}{n}}f(x)dx-n\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}f(x)dx$

η (1) δίνει το ζητούμενο.

Γενίκευση τοῦ Θεμελιώδους Θεωρήματος τοῦ Ἀπειροστικοῦ

Γενίκευση τοῦ Θεμελιώδους Θεωρήματος τοῦ Ἀπειροστικοῦ

Re: Γενίκευση τοῦ Θεμελιώδους Θεωρήματος τοῦ Ἀπειροστικοῦ

Re: Γενίκευση τοῦ Θεμελιώδους Θεωρήματος τοῦ Ἀπειροστικοῦ

Re: Γενίκευση τοῦ Θεμελιώδους Θεωρήματος τοῦ Ἀπειροστικοῦ

Μέλη σε σύνδεση