Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

#1

Για δοθέντες πραγματικούς αριθμούς $a_1, \, b_1, \, c_1$ ορίζουμε αναδρομικά

$\displaystyle{ a_{n+1}= \frac {1}{2} (b_n+c_n) , \, b_{n+1}= \frac {1}{2} (c_n+a_n), \, c_{n+1}= \frac {1}{2} (a_n+b_n) }$

Δείξτε ότι οι ακολουθίες $(a_n), \, (b_n), \, (c_n)$ συγκλίνουν, η καθεμία, στον αριθμό $\displaystyle{ \frac {1}{3} (a_1+b_1+c_1)}$ .

Επιπλέον, δώστε γεωμετρική ερμηνεία του φαινομένου.

Σχόλιο: Η κατασκευή της άσκησης ξεκίνησε ανάποδα. Δηλαδή, είχα κατά νου το εν λόγω γεωμετρικό φαινόμενο, και από εκεί έδωσα ερμηνεία με ακολουθίες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2019 9:04 pm
Για δοθέντες πραγματικούς αριθμούς $a_1, \, b_1, \, c_1$ ορίζουμε αναδρομικά

$\displaystyle{ a_{n+1}= \frac {1}{2} (b_n+c_n) , \, b_{n+1}= \frac {1}{2} (c_n+a_n), \, c_{n+1}= \frac {1}{2} (a_n+b_n) }$

Δείξτε ότι οι ακολουθίες $(a_n), \, (b_n), \, (c_n)$ συγκλίνουν, η καθεμία, στον αριθμό $\displaystyle{ \frac {1}{3} (a_1+b_1+c_1)}$ .

Επιπλέον, δώστε γεωμετρική ερμηνεία του φαινομένου.

Σχόλιο: Η κατασκευή της άσκησης ξεκίνησε ανάποδα. Δηλαδή, είχα κατά νου το εν λόγω γεωμετρικό φαινόμενο, και από εκεί έδωσα ερμηνεία με ακολουθίες.

Είναι άμεσο ότι
$\displaystyle a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}= a_{n}+b_{n}+c_{n}$

Αν είναι
a_1 + b_1 + c_1=d

τότε
$\displaystyle a_{n+1}= \frac{1}{2}(d-a_{n})$

που γράφεται

$\displaystyle a_{n+1}-\frac{d}{3}= (-\frac{1}{2})(a_{n}-\frac{d}{3})$

Ετσι

$\displaystyle a_{n+1}-\frac{d}{3}= (-\frac{1}{2})^{n}(a_{1}-\frac{d}{3})$

που δείχνει ότι

$\displaystyle a_{n}\rightarrow \frac{d}{3}$

όμοια για τις άλλες.

Αφήνω την γεωμετρική ερμηνεία.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 28, 2019 9:04 pm
Για δοθέντες πραγματικούς αριθμούς $a_1, \, b_1, \, c_1$ ορίζουμε αναδρομικά

$\displaystyle{ a_{n+1}= \frac {1}{2} (b_n+c_n) , \, b_{n+1}= \frac {1}{2} (c_n+a_n), \, c_{n+1}= \frac {1}{2} (a_n+b_n) }$

Δείξτε ότι οι ακολουθίες $(a_n), \, (b_n), \, (c_n)$ συγκλίνουν, η καθεμία, στον αριθμό $\displaystyle{ \frac {1}{3} (a_1+b_1+c_1)}$ .

Επιπλέον, δώστε γεωμετρική ερμηνεία του φαινομένου.

Σχόλιο: Η κατασκευή της άσκησης ξεκίνησε ανάποδα. Δηλαδή, είχα κατά νου το εν λόγω γεωμετρικό φαινόμενο, και από εκεί έδωσα ερμηνεία με ακολουθίες.

Συμπληρώνω μια γεωμετρική ερμηνεία. Αν θεωρήσουμε ένα τρίγωνο και πάρουμε τα μέσα των πλευρών και σχηματίσουμε με αυτά τρίγωνο, έπειτα πάρουμε τα μέσα των πλευρών του δεύτερου τριγώνου και σχηματίσουμε πάλι τρίγωνο και ούτω καθ'εξής, τότε οριακά η ακολουθία των τριγώνων εκφυλίζεται στο βαρύκεντρο του αρχικού τριγώνου. Εδώ οι ακολουθίες παίζουν το ρόλο των πρώτων συντεταγμένων ή των δεύτερων των κορυφών των τριγώνων.

#4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 30, 2019 1:47 am
Συμπληρώνω μια γεωμετρική ερμηνεία. Αν θεωρήσουμε ένα τρίγωνο και πάρουμε τα μέσα των πλευρών και σχηματίσουμε με αυτά τρίγωνο, έπειτα πάρουμε τα μέσα των πλευρών του δεύτερου τριγώνου και σχηματίσουμε πάλι τρίγωνο και ούτω καθ'εξής, τότε οριακά η ακολουθία των τριγώνων εκφυλίζεται στο βαρύκεντρο του αρχικού τριγώνου. Εδώ οι ακολουθίες παίζουν το ρόλο των πρώτων συντεταγμένων ή των δεύτερων των κορυφών των τριγώνων.

Ακριβώς αυτό είχα κατά νου.

#5

μια άλλη? γεωμετρική ερμηνεία
Παίρνω έναν άξονα και 3 σημεία πάνω σ αυτόν $\displaystyle{A_0(a_0),B_0(b_0),C_0(c_0)}$
XBΓ υποθέτω $\displaystyle{a_0<b_0<c_0}$
Ta $\displaystyle{A_1,B_1,C_1}$ είναι τα μέσα των $\displaystyle{B_1C_1,A_1C_1,A_1B_1}$
και έχουν διάταξη $\displaystyle{c_1<b_1<a_1}$
βέβαια βρίσκονται εντός του τμήματος $\displaystyle{A_1C_1}$ kok
Παρατηρούμε ότι τα $\displaystyle{A_iC_i}$ η τα $\displaystyle{C_iA_i}$ σχηματίζουν μια ακολουθία εγκιβωτισμένων διαστημάτων με το $\displaystyle{B_i}$ ανάμεσα τους
ΑΡΑ ισοσυγκλίνουν και αφού $\displaystyle{a_n+b_n+c_n=d}$ το κοινό τους οριο είναι το $\displaystyle{d/3}$

Γ.-Σ. Σμυρλής · #6

Ἡ ἀναδρομικὴ σχέση δίδεται ἀπὸ τὴν σχέση $v_{n+1}=Av_n$ , ὅπου $\{v_n\}$ ἡ ἀκολουθία διανυσμάτων v_n=(a_n,b_n,c_n)

καὶ

$\displaystyle{ A= \left(\begin{array}{ccc} 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \end{array}\right) }$

Χαρακτηριστικὸ πολυώνυμο τοῦ

, ποὺ εἶναι διαγωνιοποιήσιμος, ὡς συμμετρικὸς:
$\displaystyle{ p(x)=-x^3+\tfrac{3}{4}x+\tfrac{1}{4}=-(x-1)(x+\tfrac{1}{2})^2 }$

Στὴν ἰδιοτιμὴ 1 ἀντιστοιχεῖ στὸ ἰδιοδιάνυσμα $(\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3})$ ,
ἐνῶ στὸ ½ ἀντιστοιχεῖ διδιάστατος ἰδιόχωρος, καὶ συγκεκριμένα ὁ κάθετος στὸ (1,1,1)

.

Πρὸς εὕρεση τοῦ γενικοῦ τύπου:

$\displaystyle{ v_1=(a_1,b_1,c_1)=\big((a_1,b_1,c_1)\cdot(\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3})\big) (\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3})+w=\frac{a_1+b_1+c_1}{3}(1,1,1)+w, }$

ὅπου

κάθετο στὸ (1,1,1)

.

Ἄρα

$\displaystyle{ v_n=A^{n-1}v_1=\frac{a_1+b_1+c_1}{3}(1,1,1)+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}w\to \frac{1}{3}(a_1+b_1+c_1,a_1+b_1+c_1,a_1+b_1+c_1). }$

Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Μέλη σε σύνδεση