Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 28, 2019 9:04 pm

Για δοθέντες πραγματικούς αριθμούς a_1, \, b_1, \, c_1 ορίζουμε αναδρομικά

\displaystyle{ a_{n+1}= \frac {1}{2} (b_n+c_n) , \, b_{n+1}= \frac {1}{2} (c_n+a_n), \, c_{n+1}= \frac {1}{2} (a_n+b_n) }

Δείξτε ότι οι ακολουθίες (a_n), \, (b_n), \, (c_n) συγκλίνουν, η καθεμία, στον αριθμό \displaystyle{ \frac {1}{3} (a_1+b_1+c_1)}.

Επιπλέον, δώστε γεωμετρική ερμηνεία του φαινομένου.

Σχόλιο: Η κατασκευή της άσκησης ξεκίνησε ανάποδα. Δηλαδή, είχα κατά νου το εν λόγω γεωμετρικό φαινόμενο, και από εκεί έδωσα ερμηνεία με ακολουθίες.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2681
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 28, 2019 11:38 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Νοέμ 28, 2019 9:04 pm
Για δοθέντες πραγματικούς αριθμούς a_1, \, b_1, \, c_1 ορίζουμε αναδρομικά

\displaystyle{ a_{n+1}= \frac {1}{2} (b_n+c_n) , \, b_{n+1}= \frac {1}{2} (c_n+a_n), \, c_{n+1}= \frac {1}{2} (a_n+b_n) }

Δείξτε ότι οι ακολουθίες (a_n), \, (b_n), \, (c_n) συγκλίνουν, η καθεμία, στον αριθμό \displaystyle{ \frac {1}{3} (a_1+b_1+c_1)}.

Επιπλέον, δώστε γεωμετρική ερμηνεία του φαινομένου.

Σχόλιο: Η κατασκευή της άσκησης ξεκίνησε ανάποδα. Δηλαδή, είχα κατά νου το εν λόγω γεωμετρικό φαινόμενο, και από εκεί έδωσα ερμηνεία με ακολουθίες.
Είναι άμεσο ότι
\displaystyle a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}= a_{n}+b_{n}+c_{n}

Αν είναι
a_1 + b_1 + c_1=d
τότε
\displaystyle a_{n+1}= \frac{1}{2}(d-a_{n})

που γράφεται

\displaystyle a_{n+1}-\frac{d}{3}= (-\frac{1}{2})(a_{n}-\frac{d}{3})

Ετσι

\displaystyle a_{n+1}-\frac{d}{3}= (-\frac{1}{2})^{n}(a_{1}-\frac{d}{3})

που δείχνει ότι

\displaystyle a_{n}\rightarrow \frac{d}{3}

όμοια για τις άλλες.

Αφήνω την γεωμετρική ερμηνεία.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 535
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Νοέμ 30, 2019 1:47 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Νοέμ 28, 2019 9:04 pm
Για δοθέντες πραγματικούς αριθμούς a_1, \, b_1, \, c_1 ορίζουμε αναδρομικά

\displaystyle{ a_{n+1}= \frac {1}{2} (b_n+c_n) , \, b_{n+1}= \frac {1}{2} (c_n+a_n), \, c_{n+1}= \frac {1}{2} (a_n+b_n) }

Δείξτε ότι οι ακολουθίες (a_n), \, (b_n), \, (c_n) συγκλίνουν, η καθεμία, στον αριθμό \displaystyle{ \frac {1}{3} (a_1+b_1+c_1)}.

Επιπλέον, δώστε γεωμετρική ερμηνεία του φαινομένου.

Σχόλιο: Η κατασκευή της άσκησης ξεκίνησε ανάποδα. Δηλαδή, είχα κατά νου το εν λόγω γεωμετρικό φαινόμενο, και από εκεί έδωσα ερμηνεία με ακολουθίες.
Συμπληρώνω μια γεωμετρική ερμηνεία. Αν θεωρήσουμε ένα τρίγωνο και πάρουμε τα μέσα των πλευρών και σχηματίσουμε με αυτά τρίγωνο, έπειτα πάρουμε τα μέσα των πλευρών του δεύτερου τριγώνου και σχηματίσουμε πάλι τρίγωνο και ούτω καθ'εξής, τότε οριακά η ακολουθία των τριγώνων εκφυλίζεται στο βαρύκεντρο του αρχικού τριγώνου. Εδώ οι ακολουθίες παίζουν το ρόλο των πρώτων συντεταγμένων ή των δεύτερων των κορυφών των τριγώνων.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 30, 2019 1:52 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Σάβ Νοέμ 30, 2019 1:47 am
Συμπληρώνω μια γεωμετρική ερμηνεία. Αν θεωρήσουμε ένα τρίγωνο και πάρουμε τα μέσα των πλευρών και σχηματίσουμε με αυτά τρίγωνο, έπειτα πάρουμε τα μέσα των πλευρών του δεύτερου τριγώνου και σχηματίσουμε πάλι τρίγωνο και ούτω καθ'εξής, τότε οριακά η ακολουθία των τριγώνων εκφυλίζεται στο βαρύκεντρο του αρχικού τριγώνου. Εδώ οι ακολουθίες παίζουν το ρόλο των πρώτων συντεταγμένων ή των δεύτερων των κορυφών των τριγώνων.
Ακριβώς αυτό είχα κατά νου. :clap:


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Δευ Δεκ 02, 2019 5:41 pm

μια άλλη? γεωμετρική ερμηνεία
Παίρνω έναν άξονα και 3 σημεία πάνω σ αυτόν \displaystyle{A_0(a_0),B_0(b_0),C_0(c_0)}
XBΓ υποθέτω \displaystyle{a_0<b_0<c_0}
Ta \displaystyle{A_1,B_1,C_1} είναι τα μέσα των \displaystyle{B_1C_1,A_1C_1,A_1B_1}
και έχουν διάταξη \displaystyle{c_1<b_1<a_1}
βέβαια βρίσκονται εντός του τμήματος \displaystyle{A_1C_1} kok
Παρατηρούμε ότι τα \displaystyle{A_iC_i} η τα \displaystyle{C_iA_i} σχηματίζουν μια ακολουθία εγκιβωτισμένων διαστημάτων με το \displaystyle{B_i} ανάμεσα τους
ΑΡΑ ισοσυγκλίνουν και αφού \displaystyle{a_n+b_n+c_n=d} το κοινό τους οριο είναι το \displaystyle{d/3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης